欧几里得1、整个西方科学的发展，大概可以归结为一句话：两条腿走路



从一篇帖子开始吧…
2019年5月5日晚上19点28分，网友“芝罘（fú）山人”在贴吧开了一篇名为“从欧几里得到爱因斯坦——漫话科学史 第一话 关于公理化方法…”的帖子。
…罘：芝罘…
…芝罘：山名，又岛名，都在山东…
…贴吧：百度贴吧…百度公司产品…21世纪初（2001年~2020年），贴吧是全球最大的网络中文社区…
…社区：若干人聚集在一起形成的一个生活上相互关联的集体，如村庄、居民小区…
…中文社区：使用中文（汉语）的社区…
…网络中文社区：网上使用中文的社区…
“为什么从这篇帖子开始呢…是因为…网上删帖很快，可能不久后就没这篇帖子了，”现代学者说。
…
“随缘更新，讲一点西方科学发展史中的常常被人忽略的点…”网友芝罘山人说，“今天讲的是公理化方法的前世今生…”
“为什么现代科学没有发生在中国？…这个老掉牙的问题在我看来，应该反过来问：为什么现代科学发生在西方？…”芝罘山人接着说，“事实上，现代科学在西方的出现也是一件偶然的事情，而且和文艺复兴之类的关系并没有西方人宣传的那么大（当然，还是有很大的关系的）。整个西方科学的发展，大概可以归结为一句话：两条腿走路…今天我就来讲一下这第一条腿：公理化方法…”



对于芝罘山人的话，网友“Crazykakayibu”评论道：“大兄弟，古代任何国家都没有科学，包括西方。科学是自伽利略等人创造出科学的方法论后才出现的～然后呢，中国古代数学成就和古希腊一起领先全世界倒是真的。古希腊几何学突出，中国古代代数方面成就极高…如果只注重古代西方的几何研究而忽略中国的代数贡献，那么数学是不完整的～”
…Crazy：英语，做形容词时意思是“不理智的; 疯狂的”，做名词时意思是“疯子”…
…kakayibu：卡卡衣都（或卡卡一度）的汉语拼音…
…“芝罘山人”头像虽然是位穿警服的、非常可爱的动漫女孩子，但其个人信息显示他是男性…
“有无科学不在于掌握多少科学知识，而在于是否掌握科学方法…我的看法是，中国古代从来没有过科学方法，西方也是文艺复兴后慢慢琢磨出科学方法的…直到19世纪末，二十世纪初才正式形成…”芝罘山人回复道。
“中国古代数学代数不是最亮眼的，最亮眼的是算法问题…中国是最早尝试数学问题的机械化求解的…将复杂问题分为若干简单机械的计算步骤是中国古数学的特色…”芝罘山人接着回复。
…
“我们来看一下，在欧几里得之前，西方，或者是古希腊的科学，大概是个什么程度…”芝罘山人说。
“总是有牧羊犬说什么我国古代重视实际应用，忽略理论逻辑…其实那时的希腊也差不多是这个样子…”芝罘山人接着说。



“公理化方法最可怕的地方在于它隐含了这样一个事实：‘公理本身是简单易懂的，逻辑推导也是简单易懂的（谁还不会三段论？），那么对于一个智力平常的人，只要他经过一定时间，从头开始学习，那么他就能够掌握庞大而繁杂的几何知识’…这意味着，数学正是作为一门学科，从哲学里面分了出去…数学再也不需要智者灵光一闪式的顿悟，只需循序渐进的学习…
请看下集《欧几里得2、从零碎到系统——科学理论的成长；撼动世界的公理化方法；数学的诞生…》”

欧几里得2、从零碎到系统——科学理论的成长；撼动世界的公理化方法；数学的诞生…



“总是有牧羊犬说什么我国古代重视实际应用，忽略理论逻辑…其实那时的希腊也差不多是这个样子…”芝罘（fú）山人接着说。
…芝罘山人：网友网名…见《欧几里得1》…
…牧羊犬：网络牧羊犬…
…网络牧羊犬：？？？…
“网络牧羊犬其实说的是‘慕洋犬’的意思…一些人崇洋媚外…很多人称这种人为牧羊犬…当然有些人解释的难听一点就是跪舔洋人的狗…所以不是单纯的指宠物狗，而是一种嘲讽的意思…”网友说。
“古埃及人从土地丈量开始，掌握了初步的几何学知识。巴比伦人为了管理税收，也对数学有一定的研究，取得了一定成果。另外，大量古希腊哲学家（那个时候的‘哲学家’基本上什么都研究），比如毕达哥拉斯之类，都在数学领域有所成就…但是，这个时候的希腊数学，跟中国古代数学差不多，也只停留于解决具体问题，以及从具体问题提炼出来的一些理论。这些理论零零散散，不成系统…”芝罘山人继续说，“就在此时，欧几里得带着他的神书《几何原本》横空出世…这里容许我吹一句，‘天不生欧几里得，万古如长夜’…”
…万古：万代；万世…
…天不生欧几里得，万古如长夜：上天不降生欧几里得…人类就像在漫漫长夜中生活一样…永远见不到天日…
“为什么我要这么吹呢？因为欧几里得首次引入了公理化方法…什么是公理化方法？…公理化方法就是：从少数简单的命题（即‘公理’）出发，通过严格的逻辑，证明许多复杂的不直观的命题（即‘定理’）…”芝罘山人最后说。



“这里的‘证明’实际上指的是一种逻辑关系：如果公理是对的，那么这些定理也是对的…”芝罘山人说，“公理是不是对的呢？…为保证公理是对的…选择少数简单命题时，需选择那些正确性‘显而易见’‘不证自明’的命题…”
…命题：1、逻辑学指表达判断的句子，由系词把主词和宾词联系而成。例如：“北京是中国的首都”，这个句子就是一个命题。2、在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题…
“就这样，欧几里得选取了十大公理，作为基础，构建了庞大的几何大厦，将当时已知的数学知识进行了一次空前的大整合…”芝罘山人接着说。
“这还不是公理化方法最可怕的地方…公理化方法最可怕的地方在于它隐含了这样一个事实：‘公理本身是简单易懂的，逻辑推导也是简单易懂的（谁还不会三段论？），那么对于一个智力平常的人，只要他经过一定时间，从头开始学习，那么他就能够掌握庞大而繁杂的几何知识’…这意味着，数学正是作为一门学科，从哲学里面分了出去…数学再也不需要智者灵光一闪式的顿悟，只需循序渐进的学习…”



“本质上，整个欧几里得几何学的全部内容，都包含在他那十大公理里面了…根据欧几里几何学，人只要了解了十大公理，就等于掌握了整个几何学——从这个意义上说，欧几里得几何学是相当贫乏的…
请看下集《欧几里得3、神奇的三段论；向普通人敞开大门的象牙塔；公理化方法的局限性…》”


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欧几里得3、神奇的三段论；向普通人敞开大门的象牙塔；公理化方法的局限性…

…三段论：推理中的一种简单判断。它包括：一个包含大项和中项的命题（大前提）、一个包含小项和中项的命题（小前提）以及一个包含小项和大项的命题（结论）三部分…
…命题：1、逻辑学指表达判断的句子，由系词把主词和宾词联系而成。例如：“北京是中国的首都”，这个句子就是一个命题。2、在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题…
“三段论就是由大前提，小前提，结论构成的逻辑三要素，”网友“纵横竖屏 ”说，“例如：你的钱包在你口袋里（大前提），你的钱在你的钱包里（小前提），那么你的钱肯定在你口袋里（结论）…”
“‘你的钱包’是个大圈（大项），‘你的口袋’是个中圈（中项），‘你的钱’是个小圈（小项）…‘你的钱包在你口袋里’包含大圈和中圈——中圈在大圈里，‘你的钱在你的钱包里’包含小圈和中圈——小圈在中圈里，‘你的钱在你口袋里’包含小圈、大圈——小圈在大圈里…”现代学者说。
“我们再用生物、动物、老虎说明一下…”现代学者接着说，“生物是大圈，动物是中圈，老虎是小圈…”
“先来制作大前提…大前提包含大圈、中圈…大前提是：动物是生物…”现代学者继续说，“现在，我们来制作小前提…”
“小前提包含小圈，中圈…小前提是：老虎是动物…”现代学者最后说，“由‘小圈在中圈里’‘中圈在大圈里’，我们得出‘小圈在大圈里’的结论…就是说，由‘老虎是动物’‘动物是生物’，我们得出了‘老虎是生物’的结论…”

“你可别小看了三段论…三段论非常非常的牛逼…”网友说，“爱因斯坦《相对论》中，C（光速）的得来也是依靠‘三段论推理’…”
…牛逼：又写作牛B、NB、牛掰、牛×、流弊、牛批…21世纪初中国常用短语…形容人或物很厉害、很彪悍…
“凡是违背‘三段论’的思维…都不可能得到可靠的结论…”网友最后说。
…
“三段论是人们进行数学证明、办案、科学研究时…获得正确结论的方法之一…”现代学者说。
…
“高高在上的象牙塔，第一次向普通人敞开了大门——只要有时间、有正常水平的智力，人人都能学会几何…”芝罘（fú）山人说，“但是公理化方法并不是万能的…在文艺复兴时，就有经验主义哲学家指出：本质上，整个欧几里得几何学的全部内容，都包含在他那十大公理里面了…根据欧几里几何学，人只要了解了十大公理，就等于掌握了整个几何学——从这个意义上说，欧几里得几何学是相当贫乏的…”
…芝罘山人：网友网名…见《欧几里得1》…
“公理化方法不是万能的…究其原因，公理化方法的最大局限性，就在于它自己并不能解答‘公理从哪儿来’这个问题…”芝罘山人接着说。

“公理化方法对西方学界的诱惑是巨大的…在欧几里得之后，许多西方哲学家，科学家，数学家，都不知不觉地使用了公理化方法…
请看下集《欧几里得4、公理化方法的诱惑：从少数显而易见的公理出发，经过推理，就能得到真理》”
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欧几里得4、公理化方法的诱惑：从少数显而易见的公理出发，经过推理，就能得到真理

“公理化方法不是万能的…究其原因，公理化方法的最大局限性，就在于它自己并不能解答‘公理从哪儿来’这个问题…”芝罘（fú）山人接着说。
…芝罘山人：网友网名…见《欧几里得1》…
“欧几里得本人给出的答案是‘不证自明’，这话相当于学生时代数学练习册里的‘答案：略’。事实上，‘公理从哪儿来’这个问题，一度牵动了整个数学界，科学界，乃至哲学界，这个问题直到19世纪末才有了比较令人信服的答案…我们暂且按下不提…下一期，我们来聊聊公理化方法对西方的影响，”芝罘山人最后说。
芝罘山人发上面这些话的时间是2019-05-05 20:19…截止2019-05-05 21:30，芝罘山人没有更新帖子…网友“wcnmfwh”在2019-05-05 21:30评论道：“太监了？”…
…太监：本义指古代宫廷接受了宫刑，没有生育能力伺候皇家的奴才。现为网络用语，意指书未写完…
“现在基本指一篇小说没写完，作者不写了（即‘下面没有了’），或不更新了，断更了（即‘断根了’），一直追这部小说的人就说这部书太监了…”现代学者说。
“公理从哪里来？…这个问题是唯心和唯物主义割裂和整合的关键啊~”网友“再生好伸手”在2019-05-06 00:03评论道。
芝罘山人在2019-05-07 02:20更新了帖子。

“先来谈一下，公理化方法推出后对西方的影响…”芝罘山人说，“公理化方法对西方学界的诱惑是巨大的——只要我们从少数显而易见的公理出发，经过推理，就能够得到真理…所以，在欧几里得之后，许多西方哲学家，科学家，数学家，都不知不觉地使用了公理化方法…”
“举个例子，美国《独立宣言》，开宗明义第一句——‘我们认为下述真理是不言而喻的，即人人生而平等’…以此作为‘公理’，‘证明’了英国统治的不合法性和独立的正当性…”芝罘山人接着说。
“使用公理化方法最彻底的是荷兰唯物主义哲学家斯宾诺莎…斯宾诺莎的著作《伦理学》干脆照搬了几何原本的样式，也来个‘公理’‘定理’…斯宾诺莎以逻辑证明的形式阐述他的哲学观点，并在每一个命题论述的结尾写上‘××命题由此得证’…”芝罘山人继续说。
…巴鲁赫·德·斯宾诺莎（Baruch de Spinoza，1632年11月24日—1677年2月21日）：犹太人，近代西方哲学的三大理性主义者之一，与笛卡尔和莱布尼茨（cí）齐名。他的主要著作有《笛卡尔哲学原理》、《神学政治论》、《伦理学》、《知性改进论》等…
…《伦理学》：全名《用几何学方法作论证的伦理学》…该书用几何学的方法写成，认为只有凭推理证明获得的知识才是可靠的知识…《伦理学》从本体论、认识论开始，最后得出《伦理学》的最高概念——自由，为人的幸福指明了道路。可以说，自由是斯宾诺莎哲学的核心和最终归宿…

“我国古代掌握的主要是技术，但没有系统理论支撑的技术很难流传下来…典型例子就是数学…后世学会九章算术还能推陈出新的有几个？
请看下集《欧几里得5、没有系统理论支撑的技术很难流传下来…》”
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欧几里得5、没有系统理论支撑的技术很难流传下来…

“在公理化方法几乎被认为是万能的时候，从文艺复兴开始，越来越多人开始思考一个问题——‘公理从哪里来？’…这个问题在数学界，科学界，哲学界都掀起了滔天巨浪…我们下次再说，”芝罘（fú）山人最后说。
…芝罘山人：网友网名…见《欧几里得1》…
芝罘山人见自己帖子没人搭理、快沉了…就顶了一下。
…沉：1.（在水里）往下落（跟“浮”相对）。2.物体往下陷…
…帖子快沉了：？？？…
“什么叫帖子沉了”这个问题，网友“hurricaneycl”作了回答。
“论坛的规则是‘最新回复的帖子排首位’…你在论坛发一个帖子…没人浏览、回复…帖子就一点点从第一名掉到第二名再第三名…从第一页掉到第二页再第三页…然后就沉的无影无踪了…”hurricaneycl说。
…顶一下：“支持”的意思…论坛的帖子顶一下就不会沉了…
“顶一下…顺便提一下，我的这篇文章会把大多数视角放在西方上，有时候不免会拿中国做比较，希望不要有人说我是牧羊犬…”芝罘山人说。
…牧羊犬：“慕洋犬”的谐音，见《欧几里得2》…
…谐：和谐——～音，～调…
…谐音：（字或词）音相同或相近…
对于芝罘山人的帖子，网友“nj530408”在2019-05-07 15:13评论道：“希望楼主写快点，不要断更，从早上到现在太少了。”
…
网友“巨剑士”说：“其实研究为什么西方希腊之后两千年都没出现科学更有意义。”
“这个其实很好解释，就是不知道用两条腿走路…”芝罘山人回答，“另外教会的锅是跑不掉了…”
…两条腿走路：见《欧几里得1》…

“我记得前几天科技袁人讲过这个事情…”网友“埃尔文·隆美尔”说。
…科技袁人：由袁岚（lán）峰博士与观视频工作室合作出品，以科学、工业、技术等领域为话题打造的科普短视频节目…
“我国古代掌握的主要是技术，但没有系统理论支撑的技术很难流传下来…典型例子就是数学…后世学会九章算术还能推陈出新的有几个？”埃尔文·隆美尔接着说。
…《九章算术》：成书于公元一世纪左右。其作者已不可考…一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的…西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理…那个时候大体已成定本…最迟在东汉前期，最后成书…现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽（huī）为《九章》所作的注本…
“《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就：不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则…”网友说，“它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学…它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系…”

“西罗马灭亡至神圣罗马帝国建立的中世纪前期被认为是欧洲最为黑暗的时期。由于蛮族的入侵和定居引起了罗马帝国的崩溃，几乎造成当时欧洲文化的完全毁灭…
请看下集《欧几里得6、中世纪臭名昭著的经院哲学和烦琐哲学…》”
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欧几里得6、中世纪臭名昭著的经院哲学和烦琐哲学…

“公理化证明主要是保证了科学的严密性和完整性——只要不是智力有问题，学习前人的东西并不难…这样起码可以保证科学水平不会倒退…”埃尔文·隆美尔说，“不过古希腊的这些东西最后被阿拉伯人拿走了，欧洲人再拿到这东西已经是文艺复兴了，不过文艺复兴的欧洲人也不是当年的那帮欧洲人了…”
…埃尔文·隆美尔：网友网名，见《欧几里得5》…
“日耳曼蛮子害人不浅…”对埃尔文·隆美尔的话，芝罘（fú）山人评论道。
…芝罘山人：网友网名，见《欧几里得1》…
…日耳曼人：约公元前5世纪起分布在欧洲斯堪的纳维亚半岛（挪威和瑞典的所在地）南部、日德兰半岛（丹麦所在地）、波罗的海（德国、瑞典、芬兰之间的海）和北海（英国、荷兰、丹麦之间的海）南岸的一些部落…
…蛮：野蛮…
…蛮子：野蛮的、未开化的人；野人…
…日耳曼蛮子害人不浅：日耳曼人征服希腊后，希腊科学便没了…欧洲陷入长达一千年的教会统治时期…
…
“言归正传，我们来谈‘公理从哪里来’这个话题…”芝罘山人说，“在黑暗的中世纪，这个问题格外的容易解决——从圣经中来。结果就是中世纪臭名昭著的经院哲学和烦琐哲学…从词句到词句，从经典到经典，繁复的证明只是为了研究诸如针尖天使这种蠢不可及的问题…”

…中世纪：欧洲自公元476年西罗马帝国灭亡至公元1500年的一千年间被称为中世纪…
…黑暗的中世纪：西罗马灭亡至神圣罗马帝国建立的中世纪前期被认为是欧洲最为黑暗的时期。由于蛮族的入侵和定居引起了罗马帝国的崩溃，几乎造成当时欧洲文化的完全毁灭…
“‘中世纪’一词是15世纪后期的意大利人文主义者比昂多开始使用的。这个时期的欧洲没有一个强有力的政权来统治。封建割据带来频繁的战争，天主教对人民思想的禁锢，造成科技和生产力发展停滞，人民生活在毫无希望的痛苦中，所以中世纪或者中世纪早期在欧美普遍被称作‘黑暗时代’…”现代学者说，“传统上认为中世纪是欧洲文明史上发展比较缓慢的时期…”
…经院哲学：天主教教会用来在其所设经院中教授的理论，故名经院哲学。产生于11～14世纪查理曼帝国的宫廷学校及欧洲基督教的大修道院和附属学校…它运用理性形式，通过抽象的、繁琐的证明论证基督教信仰…经院哲学为宗教神学服务…因为教师和学者被称为经院学者（经师），故取名经院哲学…
“经院哲学并不研究自然界和现实生活中的事物，它的主要任务是对天主教教义、教条进行论证，以神灵、天使和天国中的事物为对象…”现代学者说。
…烦琐哲学：经院哲学又被称为烦琐哲学…后来，人们把脱离现实，无意义的钻牛角尖，咬文嚼字，死肯书本，只顾概念和推理而不顾实验和实现，罗列一大堆表面现象，拼凑一大堆枯燥无味的条文，使人得不到要领等情况称为烦琐哲学…

“伽利略对于科学的最大贡献，不仅仅是他发现的那一大堆科学定律，更主要的是，他明确地提出‘纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行’，什么古希腊先贤经典，什么基督教的神圣信条，都要经过实际的观察检验…被验证为正确，才算正确…
请看下集《欧几里得7、伽利略：纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行》”
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欧几里得7、伽利略：纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行

…针尖天使：？？？…
“这是中古世纪欧洲的一段公案——在一个小小的针尖上，可以有几个天使在上面跳舞？ 一个， 两个或者更多？…其实根本就没有答案，又或者说每一个人都可以有自己的答案…”网友说，“意思是‘针尖只是错觉的想象，好像上面容不下太多东西又或者能容下一个天使就很了不起了…但大家都忘了，天使是有翅膀的，所以只要天使们愿意，所有的天使都可以同时并存于一个小小的针尖上、欢畅歌舞…’”
“在文艺复兴早期，一批经验主义哲学家向神学发起挑战…他们尖锐地批判经院哲学和公理化方法，认为这不过是在古书里玩一些寻章摘句的文字游戏，毫无意义。真正有意义的是我们的生活经验，是广大欧洲劳动人民在实际生产实践中所积累的丰富经验…”芝罘（fú）山人说。
…芝罘山人：网友网名，见《欧几里得1》…
“在人们思想被神学普遍禁锢的时代，经验主义派的批判是有其进步和积极意义的。但是，经验主义者在倒洗澡水的时候，把孩子也一并泼了出去——他们完全否认了公理化的必要性，只承认简单直观的狭隘经验…”芝罘山人说，“经验主义派的做法对科学的发展并无太大作用…”
“好了，现在请跟我一起唱——‘东方红，太阳升，欧洲出了个伽利略，他是科学的大救星…’”芝罘山人接着说。

“咳咳，严肃回来…伽利略对于科学的最大贡献，不仅仅是他发现的那一大堆科学定律，更主要的是，他明确地提出‘纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行’，什么古希腊先贤经典，什么基督教的神圣信条，都要经过实际的观察检验…被验证为正确，才算正确…”芝罘山人继续说。
（“实践是检验真理的唯一标准…”芝罘山人说。）
…绝：完全…
…绝知：深入、透彻的理解…
…纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行：出自南宋陆游《冬夜读书示子聿（yù）》，原文为：古人学问无遗力，少壮工夫老始成。纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。
译文：古人学习知识是不遗余力的，终身为之奋斗…往往是年轻时开始努力，到了老年才取得成功…从书本上得到的知识终归是浅薄的，未能理解知识的真谛…要真正理解书中的深刻道理，必须亲身去实践…
…聿：指陆游小儿子陆聿…
“伽利略通过自己的观察和设计的实验，推翻了亚里士多德的一系列错误判断…科学迎来了春天…好时代，来临了！”芝罘山人最后说。
…
“这里讲句题外话，亚里士多德经常一副‘反动学术权威’的面孔出现在课本里，其实他也是一位很伟大的学者…”芝罘山人说。
…
“尽管伽利略成绩斐（fěi）然，但是他并没有提出物理理论体系…这一工作，是由另一位天才——艾萨克·牛顿完成的…”芝罘山人说。
…斐：有文采的…
…斐然：有文采的样子；显著…
…成绩斐然：取得了突出的成绩。多用于形容人很有成就，成绩突出…

“…这意味着西方已经摆脱了粗略的观察，开始使用定量实验的方法去主动探索完全未知的领域，理论研究走在了生产实践的前面…这是在整个人类科学史上都前所未有的…
请看下集《欧几里得8、美丽的物理学大厦：力学，电磁学；证明的二要素：方法，依据》”
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欧几里得8、美丽的物理学大厦：力学，电磁学；证明的二要素：方法，依据

“牛顿在伽利略的基础上，结合自己多年的观察和实验，再加上自己新创立的数学工具——微积分，提出了划时代的牛顿三大定律，并以三大定律为基础，构建了庞大的物理学大厦。至此，古典物理学横空出世，微积分成了物理学家手里的利剑，神挡杀神，佛挡杀佛…”芝罘（fú）山人接着说，“经过一代又一代物理学家的辛勤耕耘，到十九世纪时，物理学已经成为了一棵枝繁叶茂的大树…”
…芝罘山人：网友网名，见《欧几里得1》…
“这边力学在高歌猛进，那边，电磁学也没有闲着…”芝罘山人继续说。
“从富兰克林开始，经过一代又一代物理学家（安培，欧姆，法拉第…）的努力研究，到19世纪后期，麦克斯韦以极其精巧和简洁的麦克斯韦电磁方程为基础，完成了对以往电磁学家一系列成果的大整合，一座新的大厦——电磁学屹立在大地上，和牛顿的力学大厦遥遥相望…”芝罘山人最后说。

“也就是从电磁学开始，西方科学终于完成了对东方的全面超越…因为，电磁学不同于以往的任何学科，除了生活中不太常见的静电现象以外，绝大多数电磁学的进展都来自于实验室精心设计的实验，而不是日常生活的朴素观察…这意味着西方已经摆脱了粗略的观察，开始使用定量实验的方法去主动探索完全未知的领域，理论研究走在了生产实践的前面…这是在整个人类科学史上都前所未有的…”芝罘山人说。

“然而，就在科学界为物理学的飞速发展和日新月异的技术发明欢呼雀跃的时候，麦克斯韦电磁大厦的基础，却出现了令人担忧的裂缝…”芝罘山人接着说。
…
“伽利略实际功劳就是全面开始了对早期公理的验证，也就是说去检验逻辑推理的大前提是否正确…这项工作极为重要，因为对于推理来说，它只保证了证明方法的正确，至于内容是否正确…取决于大前提是否正确…”网友“nj530408”评论道。
“…前提正确，用前提推理出的结论就正确；前提不正确，用前提推理出的结论就不正确…”现代学者说。
“证明由方法、依据共同完成…”另一位现代学者说，“方法是三段论（见《欧几里得3》），依据是公理…”
“证明过程符合三段论…那么结论的正确与否，就由公理决定…”现代学者接着说，“公理正确，结论就正确；公理不正确，结论就不正确…”
“伽利略做的工作，就是验证公理的正误…”现代学者最后说。
…
“伽利略之前的社会，人们信奉先贤经典、《圣经》条文…亚里士多德的话、基督教的神圣信条是人们证明的依据…”现代学者说，“虽然人们的证明方法正确，但是…由于依据不正确…人们始终无法得到正确结论。”

““把无理数当做小数进行处理，本质上就是实际生活中的估算…而毕达哥拉斯学派对此很敏感…他们引入无理数的概念…由此引发了一次数学革命…”air03craft继续说。
“这就是东西方对待数学的不同态度…”air03craft最后说。
请看下集《欧几里得9、初等代数高等代数的分水岭——微积分；影响科学发展的根本原因…》”
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欧几里得9、初等代数高等代数的分水岭——微积分；影响科学发展的根本原因…

“把西方先出现科学方法归于偶然，是不是过于简单…”网友air03craft说。
…air：英语，“空气”的意思…
…craft：英语，意思是“技巧”…
“楼主分析几何学的思路有点意思…但是到了微积分这个更重要的数学工具倒是一笔略过…这是牛顿力学体系为代表的经典物理体系的基石…”air03craft接着说。
“微积分是初等代数和高等代数的分水岭…到了微积分时代，东方已经全面落后了…”air03craft最后说“微积分的出现总不能归于偶然或者某个个体的无心之举吧，而且完善微积分的历史…其精彩程度不亚于经典物理的危机史…”

“古代中国对算术…本质上是应用高于一切——能用即可，其他都靠边…典型的例子就是无理数的概念…”air03craft说。
“理论上发现勾股定理后，就会面临这个问题…我们的做法是靠近似的小数做逼近处理即可，不再多做考虑…”air03craft接着说。
“把无理数当做小数进行处理，本质上就是实际生活中的估算…而毕达哥拉斯学派对此很敏感…他们引入无理数的概念…由此引发了一次数学革命…”air03craft继续说。
“这就是东西方对待数学的不同态度…对待数学的不同态度，是影响后续科学发展的根本原因之一…”air03craft最后说。

“牛顿创立微积分本质上还是欧几里得式的——先定义几个基本概念，如微分，导数；再给出几个公理，如微分公式，积分公式；然后在此基础上展开推演…”芝罘（fú）山人说，“我这一篇主要讲物理学和数学史上关于公理化方法所引起的争议和思考、以及这一方法的发展变迁…所以微积分会讲的很粗略…抱歉了…”
…芝罘山人：网友网名…见《欧几里得1》…
“所以我说西方科学的出现偶然性很强…没有欧几里得的公理化方法，西方是不可能发展出近代科学的…”芝罘山人接着说。
“这个说法有待商榷（què）…”网友nj530408说，“亚里士多德时代…形式逻辑的基本形态已经建立…哲学和数学分离成为可能…第一次数学危机也迫切需要解决…采取了几何解释的柏拉图学生攸多克萨斯解决了关于无理数的问题…他纯粹用公理化方法创立了新的比例理论…”
…榷：商讨…
…商榷：磋商，互相研究，多指学术问题或其他需要慎重研究的问题…
…形式：某物的样子和构造，区别于该物构成的材料…即“事物的外形”；也指办事方法…
…逻辑：规律…
…形式逻辑：事物样子、构造的规律…形式逻辑靠概念（定义）、判断（命题）、推理（证明）描述事物样子、构造所遵循的规律…
“逻辑和语言一样，平时感觉不到它有多重要，而只有在思想混乱一团时才感到其必不可少…”现代百姓说，“逻辑是整理思想和知识的框架，没有它，理论和科学都无从产生…”

““在开始今天的文章之前，我给大家出个题：边长为1的正方形的对角线长多少？”网友说，“你可能疑惑我为什么要问这么低级的问题呢~答案很简单——√2（根号2）啊~”
“没错！但是如果在古希腊…你这么回答…你这时候可能已经被干掉了…”网友接着说。
请看下集《欧几里得10、逻辑和生活；古希腊数学；数论…》”
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欧几里得10、逻辑和生活；古希腊数学；数论…

“逻辑和语言一样，平时感觉不到它有多重要，而只有在思想混乱一团时才感到其必不可少…”现代百姓说，“逻辑是整理思想和知识的框架，没有它，理论和科学都无从产生…”
…
“形式逻辑在欧洲的创始人是古希腊的亚里士多德…”现代学者说，“亚里士多德建立了第一个逻辑系统，即三段论理论（见《欧几里得3》）…其论述形式逻辑的代表作有《形而上学》和《工具论》…”
…形态：事物的样貌…
…形式逻辑的基本形态：形式逻辑的基本样貌…
第一次数学危机：发生于公元前400年左右的古希腊…自“边长为1的正方形的对角线长多少”问题被提出起，到公元前370年左右，以无理数定义的出现为结束标志…
网友就“第一次数学危机”写过文章。
“在开始今天的文章之前，我给大家出个题：边长为1的正方形的对角线长多少？”网友说，“你可能疑惑我为什么要问这么低级的问题呢~答案很简单——√2（根号2）啊~”
“没错！但是如果在古希腊…你这么回答…你这时候可能已经被干掉了…”网友接着说，“这是为何呢？…请听科普君为你道来…”
“在古希腊，人们认为只有1、2、3、4…这些用来计数的整数才是数字…数最崇高、最神秘…”网友继续说，“他们所讲的数是指整数…”
…整数：完整的数，如﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3…

“他们信奉‘数即万物’…就是说，宇宙里的各种关系都可以用整数或整数之比来表达。但是到了公元前5世纪，毕达哥拉斯的一位门徒希帕索斯发现了一个令人震惊的现象：等腰直角三角形的三条边长不可能都是整数…”网友最后说，“这跟人们之前坚信的理念背道而驰，人们的信仰开始动摇…”
…三角形：同一平面内不在同一直线上的三条线段“首尾”顺次连接所组成的封闭图形…
…直角：90度的角…
…等腰直角三角形：两条边相等、且一个角为90度的三角形…
…信仰：人瞬间的想法叫思想，人坚持很长时间的想法叫信仰；一个人的想法叫思想，一群人的想法叫信仰…
…人们的信仰开始动摇：人们的想法开始改变…
“在这里我们简单说一下这个毕达哥拉斯…”网友说，“在西方人眼中，毕达哥拉斯是古希腊伟大的数学家、哲学家。他除了钻研出了直角三角形的边长关系外，还在数论上贡献巨大…他将自然数分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数等等。甚至还抛弃了地心说、指出当时希腊人口中的‘墨丘利’和‘阿波罗’其实是同一颗行星，即水星…”
…数论：隶属于“纯粹数学”…主要研究整数的性质…
…纯粹数学：一门专门研究数学本身，不以实际应用为目的的学问。研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，也可以说是研究数学本身的规律。相对于应用数学而言，和其它一些不以应用为目的的理论科学（如理论物理、理论化学）有密切的关系…

““自然数就是对自然界存在的物体计数的数…”现代学者说，“因此人们称它们为自然数…”
请看下集《欧几里得11、奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数…》”
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欧几里得11、奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数…

…奇数：不能被2整除的数，数学表达式为：2k+1（k为整数），如﹣5、﹣3、﹣1、1、3、5…
…偶数：能被2整除的数，数学表达式为：2n（n为整数），如﹣4、﹣2、0、2、4…
“正偶数也称双数…”现代学者说。
“若某整数是2的倍数，它就是偶数，可表示为2n；若不是2的倍数，它就是奇数，可表示为2n+1（n为整数）…”现代学者接着说，“奇数除以2的余数是1…”
…素数一般指质数…
…质：1、事物的根本特性。2.哲学上，指一事物之所以是该事物并区别于其他事物的规定性。3.质料，构成事物的材料…
…质数：大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数…
…
自然数：用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4…表示的数。
“自然数就是对自然界存在的物体计数的数…”现代学者说，“因此人们称它们为自然数…”
因：原故，原由，事物发生前已具备的条件。
因数：整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数而没有余数，我们就说b是a的因数…如6÷2=3（6除以2等于3），2就是6的因数…
“在小学数学里，两个正整数相乘，那么这两个数都叫做积的因数，或约数…”现代学者说，“如2×3=6（2乘3等6），2和3都是6的因数…”
“因数是构成其它数的数…”另一位现代学者说，“正如‘因’的含义一样——‘因’表示构成其它事物的条件、材料…”

…
…完全数：自然数中，如果一个数恰好等于它的真因子之和，则称该数为“完全数”…第一个完全数是6，第二个完全数是28，第三个完全数是496，后面的完全数还有8128、33550336等…
因子：元素、因素、成分…在数学中，因数又称因子…
真因子：自身以外的因数…如6=1×6=2×3，6的真因子就是1、2、3；28=1×28=2×14=4×7，28的真因子就是1、2、4、7、14…
“6的真因子是1、2、3，1＋2＋3=6，6是完全数；28的真因子是1、2、4、7、14，1＋2＋4＋7＋14=28，28是完全数…”现代学者说，“同理，8128、33550336也都是完全数…”
…平方数：又称完全平方数…指可以写成某个整数的平方的数…如9 =3×3，9就是平方数…
…三角数：正整数前n项和，如1（前1项的和），3（前2项的和），6（前3项的和），10（前4项的和），15（前5项的和）…n（n+1）/2（前n项的和）…
“第1个三角数是1，第2个三角数是1与2的和，也就是3…第3个三角数是1、2、3的和，即6…”现代学者说，“三角数的表达式为n（n+1）/2，n为正整数…”
“在工地上按‘顶层1，次顶层2、次次顶层3…底层n’堆圆木，从侧面看它们就像三角形…”建筑工人说，“能堆成三角形的圆木总数1、3、6…被称为三角数。”
…
“在圆木横截面上标上序数1、2、3…横截面看上去就像自然数堆成的山…”建筑工人最后说。

“商高：西周数学家…商高在公元前1000年提出了“勾三股四弦五”的勾股定理特例…
请看下集《欧几里得12、毕达哥拉斯学派；希帕索斯；边长1的正方形的对角线长度…》”
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欧几里得12、毕达哥拉斯学派；希帕索斯；边长1的正方形的对角线长度…

“毕达哥拉斯可谓是贡献巨大，但是很多人都不知道，实际上他还是个学派头目…”网友接着说，“毕达哥拉斯所创立的毕达哥拉斯学派信仰颇高——他们认为数是真实物质对象的终极组成部分…”。
…信仰颇高：相信一种东西到了迷信的地步…
…迷信：1.相信神灵鬼怪等超自然的东西存在。2.泛指盲目地相信崇拜——～权威，破除～…
“他们甚至相信依靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体…”网友继续说，“他们认为万物都包含数，甚至万物都是数…他们认为上帝通过数来统治宇宙…”
“毕达哥拉斯研究出，以直角三角形的两短边为边长作方形，其面积之和正好等于以斜边为边长的方形面积…简单来说就是小学课本上的直角三角形两直角边的平方和等于第三边的平方…实际上这个定理也并不是毕达哥拉斯首创的…古巴比伦人早就有所记载…而中国人则把它称为勾股定理或者‘商高定理’…”网友最后说。
…商高：西周数学家…商高在公元前1000年提出了“勾三股四弦五”的勾股定理特例…
“有一次，希帕索斯打算用自己的行动证明老师的观点‘任何数都可以用整数或整数的比来表示’。于是他从老师最引以为傲的毕达哥拉斯定理（勾股定理）入手——假设有一个边长为1的正方形，那其对角线的长度通过定理应该可以很轻易地算出…可是希帕索斯怎么也没办法找到一个能用整数比表示出来、且平方后恰好等于2的数…”网友说。

…希帕索斯一般指希伯斯…
…希伯斯：音译希帕索斯（Hippasus，约公元前500年），生卒（cù）年月不详，毕达哥拉斯（Pythagoras）的得意门生，无理数的发现者…
“伟大的数学家——毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数…”现代百姓说，“可是不久就出现了一个问题：当正方形的边长是1时，对角线长多少？…是整数呢，还是分数？”
“毕达哥拉斯和他的门徒费了九牛二虎之力，也不知道这个对角线长度是什么数…世界上除了整数和分数以外还有没有别的数？这个问题引起了学派成员希伯斯的兴趣…希伯斯花了很多时间去钻研…最终，希伯斯断言：边长为1的正方形对角线长度，既不是整数也不是分数，是当时人们还不认识的数…”现代百姓接着说。
“希伯斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个学派的基础…这引起了他们的恐慌…为维护学派的威信，他们严密封锁希伯斯的发现——如果有人胆敢泄露出去，就处以极刑（活埋）…”现代百姓最后说，“然而真理是封锁不住的…尽管毕达哥拉斯学派规矩森严，希伯斯的发现还是被许多人知道了…他们追查泄密的人…追查的结果，发现泄密的不是别人，正是希伯斯本人！”

“希帕索斯为无理数殉难留下的教训是：科学是没有止境的，谁为科学划禁区，谁就变成科学的敌人，最终被科学所埋葬…
请看下集《欧几里得13、从前有个人，他发现了无理数，后来，他死了…》”
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欧几里得13、从前有个人，他发现了无理数，后来，他死了…

“希伯斯背叛老师，背叛自己学派。毕达哥拉斯学派按着规矩，要活埋希伯斯。希伯斯听到风声逃跑了…”现代百姓说。
…希伯斯：音译希帕索斯…毕达哥拉斯的得意门生，无理数的发现者…
“希伯斯在国外流浪了好几年…由于思念家乡，他偷偷地返回希腊…在地中海的一条船上，毕达哥拉斯的忠实门徒发现了希伯斯…他们残忍地将希伯斯扔进地中海…”现代百姓接着说。
“希伯斯虽然死了,但是他发现的数却还存在着…后来，人们从他的发现中，知道了除整数和分数外，世界上还存在着一种数…”现代百姓继续说。
“给新发现的数起什么名字呢？…当时人们觉得，整数和分数是容易理解的，就把整数和分数合称‘有理数’，而希伯斯发现的这种数不好理解，就取名为‘无理数’…”现代百姓最后说。
…
“根据老师毕达哥拉斯的观点，这样的数是不可能存在的。可是边长为1的正方形的对角线长度又的的确确客观存在…”网友接着说，“希帕索斯不敢对外宣称自己发现了一种奇怪的数，只好告知了毕达哥拉斯，由他定夺…”
…网友：见《欧几里得10》…
“毕达哥拉斯第一时间下令封锁了消息，并警告希帕索斯不要再研究这个问题…可是经过一段时间的挣扎，希帕索斯还是无法就这样视而不见…他最后还是将这个消息传了出去…”网友继续说。
“结果当然是引得毕达哥拉斯勃然大怒…毕达哥拉斯称希帕索斯是叛徒，有意破坏学派的和谐。于是派其他门徒去将他捉拿，并处以极刑——活埋…”网友最后说，“希帕索斯听到了一些风声，打算连夜乘船流亡他乡。可没想到还是被毕达哥拉斯的门徒追上…他们将希帕索斯五花大绑，溺入了冰冷的地中海之中…”

“人虽然杀死了，但是‘边长为1的正方形的对角线长度’问题还是没解决啊~”网友说，“这个问题在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，引起了数学思想的大革命…科学史上把这件事称为‘第一次数学危机’…”
“公元前370年左右，无理数的定义出现，第一次数学危机结束…”网友接着说，“第一次数学危机让数学向前发展了一大步…”
“希帕索斯为无理数殉难留下的教训是：科学是没有止境的，谁为科学划禁区，谁就变成科学的敌人，最终被科学所埋葬…”网友最后说。

网友荟（huì）文苑（yuàn）就“第一次数学危机”写过教案。
…荟：草木繁盛…
…苑：1.养禽（qín）兽种林木的地方（多指帝王的花园）——鹿～，御～。2.（学术、文艺）荟萃的地方——文～，艺～…
…教案：教师授课前写的教学方案…
“让学生了解毕达哥拉斯、第一次数学危机…及其关系…”荟文苑说，“让学生了解第一次数学危机的意义…”

“毕达哥拉斯的父亲是一个富商…毕达哥拉斯九岁时，被父亲送到提尔，在闪族叙利亚学者那里学习…在这里，毕达哥拉斯接触了东方的宗教和文化。以后他又多次随父亲到小亚细亚旅行（父亲到小亚细亚是为了做生意）…
请看下集《欧几里得14、毕达哥拉斯的出身、经历；闪米特人；提洛岛从繁盛到荒无人烟…》”
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欧几里得14、毕达哥拉斯的出身、经历；闪米特人；提洛岛从繁盛到荒无人烟…

“让学生了解毕达哥拉斯、第一次数学危机…及其关系…”荟（huì）文苑（yuàn）说，“让学生了解第一次数学危机的意义…”
…荟文苑：某老师在网上的网名，见《欧几里得13》…
“让学生明了科学道路的艰辛，为科学献身的伟大和崇高。知道世界上不是什么都一帆风顺的…”荟文苑接着说，“培养学生崇尚科学，客观推演，不要主观臆（yì）断的好习惯…”
…明：亮，与“暗”相对…
…了：知晓，了解…
…明了：1.清楚地知道或懂得——你的意思我～，就这样办吧。2.清晰；明白——简单～…最早出自于《后汉书·方术传下·华佗》：“鲁女生数说显宗时事，甚明了，议者疑其时人也。”…
…臆：无根据的；主观的…
…臆断：凭臆测而下的决断；主观地判断、推测做出的决定…
…臆测：无根据地主观推测；凭想象揣测…
…
“约公元前580年，毕达哥拉斯出生在米利都附近的萨摩斯岛（今希腊东部的小岛）——爱奥尼亚群岛的主要岛屿城市之一…此时群岛正处于极盛时期，在经济、文化等各方面都远远领先于希腊本土的各个城邦…”荟文苑说。
…米利都：古希腊城邦，位于小亚细亚大陆（今土耳其所在地）西海岸…
…萨摩斯岛（Samos Island）：希腊岛屿。在爱琴海东部，是爱琴海中距小亚细亚大陆最近的希腊岛屿。和小亚细亚只隔窄狭的萨摩斯海峡…

“毕达哥拉斯的父亲是一个富商…毕达哥拉斯九岁时，被父亲送到提尔，在闪族叙利亚学者那里学习…在这里，毕达哥拉斯接触了东方的宗教和文化。以后他又多次随父亲到小亚细亚旅行（父亲到小亚细亚是为了做生意）…”荟文苑接着说。
…提尔（黎巴嫩古城）一般指推罗…
…苏尔（…阿卡德语：Ṣurru, 希腊语：Τύρος）：又译泰尔、提洛、提尔，基督教《圣经》译本翻译为“推罗”…是黎巴嫩南部行政区中的城市…苏尔城延伸突出于地中海上…
…闪族一般指闪米特人…
…闪米特人：“闪米特人”一词由德国人August Ludwig von Schlözer（1735—1809）于1781年提出，用来指代民族语属于亚非语系闪米特语族的人群，灵感来自《圣经》诺亚的长子Shem（闪）。
闪米特人不是单一民族，而是包含了母语属性有关联的一群民族…这些民族上古的亲疏关系尚不明确…
（…诺亚：《圣经》人物，曾制造“诺亚方舟”…）
“公元前551年，毕达哥拉斯来到米利都、得洛斯（提洛岛）等地，拜访了泰勒斯、阿那克西曼德和菲尔库德斯，并成为了他们的学生…在此之前，他已经在萨摩斯的诗人克莱非洛斯那里学习了诗歌和音乐…”荟文苑继续说。
…提洛岛：爱琴海上的一个岛屿，位于基克拉泽斯群岛的中部…是群岛心脏，也是群岛中最小的岛屿之一…在古代，这里是爱琴海上的宗教、政治与商业中心…提洛岛目前几乎无人居住…
（…基克拉泽斯：爱琴海南部一个群岛…）

“抵达埃及后，国王阿马西斯推荐他入神庙学习。从公元前535年到公元前525年这十年中，毕达哥拉斯学习了象形文字，埃及神话、历史、宗教…
请看下集《欧几里得15、科学和哲学之祖：泰勒斯；毕达哥拉斯的人生…》”
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欧几里得15、科学和哲学之祖：泰勒斯；毕达哥拉斯的人生…

泰勒斯（公元前624年？—公元前547或546年）：古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，出生于爱奥尼亚的米利都城，创建了古希腊最早的哲学学派，是希腊最早的哲学学派——米利都学派（也称爱奥尼亚学派）的创始人…古希腊七贤之一…西方思想史上第一个有记载（有名字留下来）的思想家，被称为“科学和哲学之祖”…泰勒斯是古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家…泰勒斯的学生有阿那克西曼德等…
…伊奥尼亚：古希腊对小亚细亚（今土耳其所在地）西南海岸地区的称呼…
…米利都：见《欧几里得14》…
阿那克西曼德（希腊文Ἀναξίμανδρος，英文Anaximander，约公元前610年-约公元前545年）：古希腊哲学家，据传是“哲学史第一人”泰勒斯的学生…出生于米利都…据说曾率领使节团到斯巴达，在那里向斯巴达人展示他的两项发明——日晷（guǐ）与世界地图…曾经担任过一个米利都殖民地的领袖…
…晷：日影。比喻时间…
…日晷：古代计时仪器…
菲尔库德斯：神话作家…与泰勒斯同属“希腊七贤”…爱神丘比特这个形象就是他描绘出来的…
克莱非洛斯：古希腊诗人…
“公元前550年，30岁的毕达哥拉斯因宣传理性神学，穿东方人服装，蓄（xù）上头发从而引起当地人的反感，从此萨摩斯人一直对毕达哥拉斯有成见…”荟（huì）文苑（yuàn）最后说。
…蓄：积聚；储存起来——～洪…
…萨摩斯：毕达哥拉斯故乡，见《欧几里得14》…
…荟文苑：某老师在网上的网名，见《欧几里得13》…

“当地人认为毕达哥拉斯标新立异，鼓吹邪说…毕达哥拉斯被迫于公元前535年离家前往埃及…途中他在腓（féi）尼基各沿海城市停留，学习当地神话和宗教，并在提尔一神庙中静修…”荟文苑说。
…腓尼基：古希腊对今黎巴嫩地域的称呼…
…提尔：黎巴嫩古城…见《欧几里得14》…
“抵达埃及后，国王阿马西斯推荐他入神庙学习。从公元前535年到公元前525年这十年中，毕达哥拉斯学习了象形文字，埃及神话、历史、宗教…”荟文苑接着说，“同时，毕达哥拉斯宣传希腊哲学，受到许多希腊人尊敬…有不少人到他的门下求学…”
“毕达哥拉斯在49岁时返回家乡萨摩斯，开始讲学并开办学校…但是没有达到他预期的成效…”荟文苑继续说，“公元前520年左右，为了摆脱当时君主的暴政，毕达哥拉斯与母亲和唯一的一个门徒离开萨摩斯，移居西西里岛…后定居克罗托内…”
…西西里岛：意大利岛屿…
“意大利地图像只靴子…靴子的脚前掌就是西西里岛…”网友说。
…克罗托内：意大利地名…
“意大利地图像只靴子…克罗托内在脚底板中间…”网友说。
“在克罗托内，毕达哥拉斯广收门徒，建立了一个宗教、政治、学术合一的团体——毕达哥拉斯学术团…”荟文苑最后说。

““按当时的风俗，妇女是被禁止出席公开的会议的…毕达哥拉斯打破了这个成规，允许她们也来听讲…”荟文苑说，“热心的听众中就有他后来的妻子西雅娜，她年轻漂亮，曾给他写过传记，可惜已经失传了…”
请看下集《欧几里得16、毕达哥拉斯和妻子西雅娜的相识相知；毕达哥拉斯之死；数本思想…》”
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欧几里得16、毕达哥拉斯和妻子西雅娜的相识相知；毕达哥拉斯之死；数本思想…

“毕达哥拉斯的演讲吸引了各阶层人士…很多上层社会的人士来参加演讲会…按当时的风俗，妇女是被禁止出席公开的会议的…毕达哥拉斯打破了这个成规，允许她们也来听讲…”荟（huì）文苑（yuàn）说，“热心的听众中就有他后来的妻子西雅娜，她年轻漂亮，曾给他写过传记，可惜已经失传了…”
…荟文苑：某老师在网上的网名，见《欧几里得13》…
“毕达哥拉斯在意大利南部的希腊属地克劳东成立了一个社团，这个社团里有男有女，地位一律平等…社团的组织纪律很严密，甚至带有浓厚的宗教色彩…”荟文苑接着说，“每个学员都要在学术上达到一定的水平，加入组织还要经历一系列神秘的仪式，以求达到‘心灵的净化’…”
（“毕达哥拉斯建立的这个团体形成了以后的毕达哥拉斯学派。后又叫南意大利学派，”荟文苑说。）
“他们要接受长期的训练和考核，遵守很多的规范和戒律，并且宣誓永不泄露学派的秘密和学说…他们相信：依靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体；通过数学能窥探神的思想；万物都包含数，甚至万物都是数；数是变化多端的世界背后的真相…”荟文苑继续说，“这是毕达哥拉斯学派和其他教派的主要区别…”

“学派成员有着共同的哲学信仰和政治理想…他们吃着简单的食物，进行着严格的训练…学派教义鼓励人们自制、节欲、纯洁、服从…他们在大希腊（今意大利南部一带）赢得了很高的声誉，产生了相当大的影响…也因此引起了其它派别的嫉恨…”荟文苑最后说，“后来他们受到民主运动的冲击…社团在克罗托内的活动场所遭到了严重破坏…毕达哥拉斯被迫移居他林敦（今意大利南部塔兰托），并于公元前500年被暗杀去世，享年80岁…”
…克罗托内：见《欧几里得15》…
…塔兰托：？？？…
“意大利地图像只靴子…塔兰托在脚后跟…”网友说。
“毕达哥拉斯的许多门徒逃回希腊本土…在希腊本土重新建立据点…另一些人到了塔兰托，继续进行数学哲学研究，以及政治方面的活动…直到公元前4世纪中叶…”荟文苑说。
“毕达哥拉斯学派持续繁荣了两个世纪之久…”荟文苑最后说。
…
“毕达哥拉斯学派有着‘数是万物本源’的数本思想…”荟文苑说。
“毕达哥拉斯学派认为从数量上看，夏天是热占优势，冬天是冷占优势，春天是干占优势，秋天是湿占优势…最美好的季节是冷、热、干、湿等元素在数量上均衡分布的季节…”荟文苑接着说，“数量上的均衡分布…毕达格拉斯学派称之为‘和谐’…”
（“毕达格拉斯学派注重和谐…”荟文苑说。）
“最早把数的概念提到突出地位的是毕达哥拉斯学派…他们很重视数，企图用数来解释一切…”荟文苑继续说。

“他们宣称数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘…他们从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了‘5’这个数…
请看下集《欧几里得17、“抽象”的含义与数的诞生；哲学和实用数学的巨大进步…》”
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欧几里得17、“抽象”的含义与数的诞生；哲学和实用数学的巨大进步…

“最早把数的概念提到突出地位的是毕达哥拉斯学派…他们很重视数，企图用数来解释一切…”荟（huì）文苑（yuàn）继续说，“他们宣称数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘…他们从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了‘5’这个数…”
…荟文苑：某老师在网上的网名，见《欧几里得13》…
…抽：1.把夹在中间的东西取出。2.从中取出一部分…
…象：形状；样子——景～，天～，气～，印～，万～更新…
…抽象：从具体事物抽出、概括出它们共同的方面、本质属性与关系等，而将个别的、非本质的方面、属性与关系舍弃，这种思维过程，称为抽象…
“抽象就是总结规律…”现代百姓说。
“抽象是找相同点…”网友说。
…
“从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了‘5’这个数…这在今天看来，是很平常的事（这在今天看来，也异乎寻常），但在当时的哲学和实用数学界，这算是一个巨大的进步…”荟文苑最后说，“在实用数学方面，它使得算术成为可能。在哲学方面，这个发现促使人们相信数是构成实物世界的基础…”

“在毕达哥拉斯派看来，数为宇宙提供了一个概念模型：数量和形状决定一切自然物体的形式；数不但有量的多寡，而且也具有几何形状——在这个意义上，他们把数理解为自然物体的形式和形象，是一切事物的总根源…”荟文苑说。
…形式：某物的样子和构造，区别于该物构成的材料…即“事物的外形”；也指办事方法…

“因为有了数，才有几何学上的点，有了点才有线面和立体，有了立体才有火、气、水、土这四种元素，从而构成万物，所以数在物之先…”荟文苑接着说。
“自然界的一切现象和规律都是由数决定的，都必须服从‘数的和谐’，即服从数的关系…”荟文苑继续说，“所以，他们将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数（见《欧几里得11》）等。认为‘万物皆数’，‘数统治宇宙’…只不过，毕氏的数是整数…”
“他们坚持的信条是：‘宇宙间的一切现象都可以归于整数与整数之比（整数与整数之比即现在所说的有理数）。’即一切现象都可以用有理数来描述…”荟文苑最后说。
…信条：忠实遵守的准则…
…
“他们认为‘任何两条线段，总有一个最大公度线段。’…”荟文苑说。
…公度和公约：对于两条线段a，b，总能找到第三条线段c，使得这两条线段都可以分成c的整数倍，这时我们就说，c是a、b的度量单位，并说a、b是可公约的或可公度的…
…
“整数是计算过程中产生的抽象概念…日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间…为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数包括所有整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的…”荟文苑说。

“据说，希帕索斯由于发现了无理数，从而遭到毕达哥拉斯学派的追杀。他虽逃到了埃及，但几年之后，在回国途中，还是被人扔到海里淹死了…
请看下集《欧几里得18、有理数的几何解释；希帕索斯之死；柏拉图学生——欧多克斯》”
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欧几里得18、有理数的几何解释；希帕索斯之死；柏拉图学生——欧多克斯

“有理数有一种简单的几何解释：在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数…”荟（huì）文苑（yuàn）接着说，“正整数在0的右边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点…”
…荟文苑：某老师在网上的网名，见《欧几里得13》…


“古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。但是，大约在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了：等腰直角三角形的直角边与其斜边没有最大公度线段…”荟文苑继续说。
…等腰直角三角形：？？？…
“等腰直角三角形就是正方形的一半…”网友说，“正方形对角线，加上两条边…形成的就是等腰直角三角形…”
…公度线段：见《欧几里得17》…
“正方形边长为1时，它对角线的长度无法用整数或分数表示出来…但它的长度又的的确确客观存在…它的长度是种新发现的数…”荟文苑最后说，“新发现的数和之前‘合理存在的数’（即有理数）不同，所以被称为无理数…”
…
“‘边长1的正方形的对角线长度无法用整数或分数表示出来’，这个简单的数学事实的发现，使毕达哥拉斯学派的人感到迷惑…”荟文苑说。
“它不仅违背了毕达哥拉斯派的信条，而且冲击了当时希腊人持有的‘一切量都可以用有理数表示’的信仰…”荟文苑接着说。
…信条：忠实遵守的准则…
…毕达哥拉斯派的信条：万物皆数（万物都可以用整数或分数表示），见《欧几里得16、17》…
…信仰：人瞬间的想法叫思想，人坚持很长时间的想法叫信仰；一个人的想法叫思想，一群人的想法叫信仰…
…
“这就形成了悖（bèi）论…人们称之为毕达哥拉斯悖论，也叫希帕索斯悖论…”荟文苑继续说，“这次悖论直接导致了认识上的危机，从而产生了第一次数学危机…”
…悖：1.相反；违反。2.违背道理；错误。3.迷惑；糊涂…
“据说，希帕索斯由于发现了无理数，从而遭到毕达哥拉斯学派的追杀。他虽逃到了埃及，但几年之后，在回国途中，还是被人扔到海里淹死了…”荟文苑最后说。

“200年后，约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题——他采用了一个十分巧妙的关于‘两个量之比’的新说法，回避了无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比…”荟文苑说。
“他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致…”荟文苑接着说。

““曾有一段时间，人们不知道‘边长1的正方形的对角线’是什么…按‘万物皆数’理论（见《欧几里得16、17》），这个对角线是数，但是…人们无法用数将它表示出来…”现代学者说。
请看下集《欧几里得19、欧多克斯给出的比例新定义，为何能消除几何上的危机？》”
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欧几里得19、欧多克斯给出的比例新定义，为何能消除几何上的危机？

“200年后，约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题——他采用了一个十分巧妙的关于‘两个量之比’的新说法，回避了无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比…”荟（huì）文苑（yuàn）说。
…荟文苑：某老师在网上的名字，见《欧几里得13》…
…公度和公约：对于两条线段a，b，总能找到第三条线段c，使得这两条线段都可以分成c的整数倍，这时我们就说，c是a、b的度量单位，并说a、b是可公约的或可公度的…
“欧多克斯处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致…”荟文苑接着说。
…欧多克斯十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法：？…
…欧多克斯处理不可公度的办法：？？…
网上名为《数学的真相》的PPT，对欧多克斯处理不可公度的办法，进行了尽可能简洁的描述：

“欧多克斯给出的比例新定义，消除了几何上的危机…”PPT作者说。
…几何上的危机：？…
“‘当正方形的边长是1时，对角线长多少？’，这个问题出现后，不仅在算术上引发危机（无法用整数或分数将边长1的正方形的对角线长度表示出来），也在几何上引发了危机…”现代学者说，“曾有一段时间，人们不知道‘边长1的正方形的对角线’是什么…”
“按‘万物皆数’理论（见《欧几里得16、17》），这个对角线是数，但是…人们无法用数将它表示出来…”现代学者接着说，“人们也无法从几何角度，解释‘边长1的正方形的对角线’是什么…”
“欧多克斯的比例新定义出现后，人们知道了：正方形的对角线…它的长度和边长成比例…它是比例当中的一个变量…”现代学者继续说，“人们能从几何角度，解释‘边长1的正方形的对角线’了…”
…比例：在数学中，表示两个或多个比相等的式子…
“在数学中，如果一个变量的变化总是伴随着另一个变量的变化，则两个变量是成比例的…”学者说，“两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系…”
“在几何上，人们知道了‘边长1的正方形的对角线’是什么…”现代学者最后说，“由此，几何上的危机得到解决…”
…
“比例的新定义是——定理：如果两个三角形的高相同，则他们的面积之比等于两底之比…”PPT作者接着说。
…定理：被证明为正确，作为推理的依据的真命题…
（…推理：也是“证明”的意思…
…命题：1、逻辑学指表达判断的句子，由系词把主词和宾词联系而成。例如：“北京是中国的首都”，这个句子就是一个命题。2、在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题…
…真命题：正确的命题…）

““数系这个词看上去如此简单，网上却没有对它的准确解释…”现代学者说，“这里暂时把它理解成‘数的集合’‘数的总称’…”
请看下集《欧几里得20、欧多克斯的证明；算术与几何；数系与数轴》”
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欧几里得20、欧多克斯的证明；算术与几何；数系与数轴

“比例的新定义是——定理：如果两个三角形的高相同，则他们的面积之比等于两底之比…”PPT作者接着说。
…PPT作者：《数学的真相》PPT的作者…
…
“三角形面积公式是底乘高除以2。面积用S表示，底用a表示，高用h表示，三角形面积公式就是：s=1/2ah…”现代学者说。
“三角形1的面积公式是s1=1/2a1h1，三角形2的面积公式是s2=1/2a2h2，它们比一下就是s1/s2=（1/2a1h1）/（1/2a2h2）…”现代学者接着说，“高相同…高都用h表示…比例公式就变成s1/s2=（1/2a1h）/（1/2a2h）…”
“1/2约掉，h约掉，于是得出s1/s2=a1/a2，即：如果两个三角形的高相同，则他们的面积之比等于两底之比…”现代学者最后说。
…
“对于比例的新定义，毕达哥拉斯学派的证明是：假设线段BC，DE分别是某共度线段的P倍和q倍；将△ABC和△ADE分别分成p和q个小三角形。则△ABC/△ADE=p/q=BC/DE…”PPT作者继续说。
…公度和公约：对于两条线段a，b，总能找到第三条线段c，使得这两条线段都可以分成c的整数倍，这时我们就说，c是a、b的度量单位，并说a、b是可公约的或可公度的…

“毕达哥拉斯学派的证明比欧多克斯的证明简洁得多，这里就不阐述欧多克斯的证明了…只展示下图片：”PPT作者最后说。

“‘无法用整数或分数将边长1的正方形的对角线长度表示出来’…‘边长1的正方形的对角线长度’既不是整数也不是分数…它是种新的数…”PPT作者说。
“当时人们觉得，整数和分数是容易理解的，就把整数和分数合称‘有理数’…新发现的数不好理解，就取名为‘无理数’…”PPT作者接着说。
“无理数的发现，引发了人们对数系的思考…”PPT作者继续说。
…数：表示事物的量的基本数学概念。由于生产实践对计数和测量的需要，首先产生了自然数（正整数），后又逐渐产生了分数、零、无理数、负数、虚数等…
（“‘计数’是算术，‘测量’是几何…”现代百姓说。）
…系：有联属关系的——～统，～列，水～；某些学科中分类的名称——汉藏（zàng）语～，寒武～（地质学名词）…
…数系：？？？…
“数系这个词看上去如此简单，网上却没有对它的准确解释…”现代学者说，“这里暂时把它理解成‘数的集合’‘数的总称’…”
…
“古代数学家认为，有理数能把数轴上的点用完…发现无理数后，人们知道了：数轴上除了有理数，还有无理数…”PPT作者最后说。
…数轴：数字按大小顺序排列，形成的轴…数字组成的轴…
…轴：穿在轮子中间的圆柱形物件——～心，轮～；数学上指一条直线，周围的点围绕它旋转，或是用它作为确定各点位置的标准——转动～，坐标～…
“数字按大小顺序整齐的排成一列，就好像有轴把它们串起来一样…因此，把这种排列叫数轴，”现代百姓说。

““人们发现，有理数、无理数…它们都是实际存在的数…”PPT作者最后说，“于是，人们给它们取名‘实数’…”
请看下集《欧几里得21、诡异逻辑；集合与定义；“数轴是什么”与实数的诞生…》”
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