重审数学三次危机的本质和启示

韩更辰 2019.8.18—8.19 8.21夜2时多

（1）第一次危机是有理数系与建立在有理数系之上的开方运算之间的矛盾冲突。即有理数对加减乘除是完备的。但开方运算产生了不是有理数的数，在有理数系中找不到的数。。这个√2在等腰直角三角形中是存在的，但在有理数系中不存在。其实，这种数系和数系上的运算之间的冲突，在√2产生之前就出现过。如自然数系0,1,2,3，------对减法和除法运算是不完备的，2-3=-1, 1÷3=1/3。但在自然数系中找不到-1和1/3。这时人们的思维定势还不强大，因此没大惊小怪。在√2产生之后也有过，如√-1在实数的开方运算中会出现，但在实数系中不存在√-1这个数-------。这种数系和数系上的运算冲突的情况，解决的办法都是扩大数系。其实，在物质世界，在无机物系上‘运算’产生有机物，这个有机物在产生它的无机物系中不存在。当年人们认为无机物和有机物是不可跨界的。 （2）第二次危机的本质是，人类为自己总结设定的‘0不能做除数’的思维定势的危机。至今，整个数学史和数学界早已把‘0做除数’的解法找到了，但‘0不能做除数’的这个观念却没解开。 除法的起源也许是从具体的分东西开始的，但它的数学意义却是在不断演化的------ 当演化到算式的时候，它的具体意义便被逐渐抽象掉了。从两组算式来讨论0/0 ：①a*0=0 , 0/0=a ; ②b*0=0 , 0/0=b 。从两组算式得到0/0=a和0/0=b 。这样0/0的值是a或b ，不是唯一确定的。 正因为0/0的值的不确定性——所以说0做除数无意义——所以就规定了‘0不能做除数’这条戒律。 0/0真的没有确定性吗? 是的，孤立地只看0/0=a和0/0=b ,（不看0*a=0和0*b=0）是没有确定性的；但是，具体地看0/0真的是有确定性的，在上面的算式中就表现着这种确定性，只是我们没有具体地去审视它。请具体地审视一下：在①a*0=0 ，0/0=a 这组具体的乘除正逆完整运算中，0/0=a是确定的（0/0没等于b) 。在②b*0=0 , 0/0=b 这组具体的乘除正逆完整运算中0/0=b 也是确定的（0/0没等于a）。只是当我们把①②两组中的除法单独孤立出来，只看0/0=a和0/0=b 时，则出现了0/0的值或等a或等b的不确定性。那么，0/0是否有确定性呢? 我的回答是： 若孤立地只看0/0的值或等于a或等于b，则是无确定性的； 若具体把一组乘除正逆运算完整的来看，如在①a*0=0 ,0/0=a这组具体的乘除正逆完整运算中，0/0=a （不等于b）是有确定性的。因此，0/0存在不确定性和确定性的 “二重性” 。正是0/0的这种特殊的二重性，决定了0/0在什么情况下没有确定性，此时0不能做除数；在什么情况下有确定性，此时0能做除数。即0是否能做除数也具有二重性。 在算术阶段0不能做除数的这一重性质就暴露出来了，并且成了一条不再被怀疑的戒律。但是，到了变数，函数，微积分时代——却必须要过0/0的第二重性质这个关口——即“0要做除数”这个关口。 可是，人们却总是抱着第一重性质的戒律去对付第二重性质的问题，因为人们不认为0/0会有第二重性质——也不会返回头来对自己的戒律和观念重审。我们看牛顿和莱布尼兹。他们遇到的就是0/0的第二重性的问题，也是按照第二重性质的操作——即在实际运算中就是让0做了除数，并且也得出正确的结果。但是，却用第一重性的观念来定势住了自己思维——0怎么做了除数？结果怎么还正确？他们疑惑，别人也困惑，贝克莱也质疑--------。 其实，y=x² ；∆y=(2x+∆x)∆x ;令∆x=0 ；则∆y=0 ;代入上式得 0=(2x+0)0 ; 即0=（2x）0 ; 则 0/0=2x ; 就是说∆y=0是由∆x=0乘以（2x+0）这个乘法运算得到的，那么，还原回去，把∆x=0除去，就把（2x+0）这项因子解离出来了。并且在0=（2x+0）0 ； 0/0=2x+0=2x ;这个具体的先乘后除的正逆完整运算中，0/0=2x是唯一确定的。这正是牛顿疑惑的地方——明明有”0不能做除数”的戒律，可是，让0做除数用0/0却得到了正确的结果。这里正是”0不能做除数的”思维定势，使牛顿没去看到——这里的0/0不是单独的孤立的一个除法——(因为在这里也正好必定不是单独孤立的一个除法,而是先乘后除正逆完整的运算——可是，0不能做除数的戒律是在单独孤立的除法中得出的结论 ——彼种情况下得出的结论用在此种情况下) 而是先乘以0，接着再把0除去的，对同一个因子正逆完整的运算，这样0/0的值是唯一确定的。如同a先乘以0 得 a*0=0然后又把0除去得0/0=a 。在这种具体的乘除正逆完整的运算中0/0的值是唯一确定的，0是能做除数的。这是0能否做除数的二重性。

多亏当年的困惑和弯路，才逼迫寻找建立起极限的概念。①先建立割线，②再逼近切线——即∆x→0，此时并不是切线，只是逼近， (但在极限论中却默认是切线，不敢再向前走，不敢让∆x=0） ③最后仍是让0做除数—— ∆x=0时才在切点上。 只是不敢说∆x=0,因为害怕触碰“0做除数这个戒律”。 极限是被“不能让0做除数”逼出来的，它开辟出数学的伟大洞天。但是，“0做除数”的事并没有说清，也并没有清除。在求斜率时，事实上，明明是进行∆x=0的操作和结果，但说是∆x→0；明明是切线切点，却不敢说∆x=0 。因为没明白此时此处0是能做除数的。求切线的斜率就是从0*a=0 中，通过0/0=a这个逆运算还原出a 。 再看a/0这种情况，在“分东西”意义的除法上，没法理解其意义。但在双曲线那里y=a/x , x→0 , 则y→ꝏ，这里就表现出0做除数的意义了。意义是演化的，当我们引入一个概念时是从具体事物切入的，但是随着演化则逐渐抽象掉当初的具体意义，而展现出其他的潜在意义---------。当初0这个数字够折磨人的，0/0更折磨人，罗素悖论到现在还在折磨着人---------

（3）第三次危机的本质是 ：我们用一维一元逻辑制造出了二维二元逻辑的问题，却总想用一维一元逻辑去解决这个二维二元的问题 。《罗素悖论与二维逻辑 》 2016.8.12 夏天

一，试着对‘说谎者悖论’和罗素悖论作更多的理解，试着接受它，它那么简明，那么美妙，那么执着，那么深情--- ---

二，试着用二维逻辑解释它。《1》形式逻辑是一维一元逻辑，用一维逻辑轴表示 ，





正方向表示“是”，反方向表示“非”。它有一个逻辑轴，二个逻辑值：“是”和“非”。每个逻辑值是一元的“是” 和“非”，仅有一组逻辑判断组合（是，非），只有一类逻辑。 《2》二维二元逻辑。（1）用二维坐标平面表示。(2)它有二个逻辑轴，（3）四个逻辑值（如同四个逻辑象限） 是→是 ，‚是→非 ，③非→非，④非→是。







（4），每个逻辑值都是二元的，不是一元的，如 “是→是”，它不是一元的“是”，它是表示“从是到是”，或表示“是则是”，或表示“是即是”；如‚“是→非”，它是表“从是到非”，或表示“是则非”，或表示“是即非”；--- ---总之它是二元的，如同二维坐标系中的点是二元的（x,y）。它是动态的，它是表示环节，表示过程，表示关系--- --- (5)它有六种逻辑组合，（①②），（①③），（①④），（②③），(②④),(③④)。（6）有四类逻辑（如同四个逻辑箱），（①③）组合是第一类 （是→是，非→非），是二维二元逻辑中的自肯逻辑。相当于一维一元逻辑中的（是，非）逻辑，但它是二元的值。（②④）组合是第二类，即（是→非，非→是）组合，它就是罗素悖论式组合，称作“自否逻辑”。亦即辩证逻辑。 （①②）和（③④）两种组合是第三类逻辑，它表示不论起点是“是”还是“非”都或然可能成为“是或非”，称之“或然逻辑”。（①④）和（②③）两种组合是第四类逻辑，它表示不论起点是“是或非”都定然成为“是”和“非”之一，称之“定然逻辑”。（7），一维一元逻辑适合的命题是“状态命题”，静止的，孤立的，间断的事物或概念。二维二元的逻辑适合判断的命题是二维二元的“关系命题”，运动的，变化的，过程的，关系的，环节的，连续的，二层的，叠加的，二重的事物或概念。（8）一维一元的形式逻辑的特别优越性在于它是最简单的，最基本的，分裂的，绝对的抽象性。它是认识和判断的第一支点，没有它就不能认识和判断。但是它不适合判断“关系命题”。二维二元逻辑表示的是最简单的也是最基本的关系。二维二元可用一元一维去构建，二维二元也可拆开成一维一元。N维n元逻辑表示n元关系。

“逻辑”这个被“默认”的认识和判断其他事物的工具和根据，其实也应该是被认识的对象。

三，说谎者悖论和罗素悖论是如何产生的，因为这里用一维一元的逻辑构造了一个二维二元的“关系命题”，并且是“自我涉及的”，“否定式的”“关系命题”，却让用一维一元的形式逻辑去判断。这一维一元逻辑中没有“二元关系值”，因此找不到判断值（如同让-1开平方是用实数制造出来的，但在实数中找不到的数）。有时在“自我涉及的”肯定关系中好像没有发生悖论，那是因为把“自肯逻辑”中的“是→是”这个二元逻辑值误认为一元的“是”。

四，为什么数学发展到“集合”就暴露出形式逻辑的问题，因为“数”和“变数”都是“单层量”，而“集合”本身就是由“元素”和“集合”两层关系构成的，因此在“集合”这一体内部（而不是外部）就构造了“关系结构”，是两层的，二重的，一分为二的，合二为一的“关系结构”。当这种“关系”构造成“自我涉及的肯定式”时，还可把“自肯关系”的“是→是”误认为“是”。而构造成“自我涉及的否定式”时，“是→非”和“非→是”的“关系值”就没法用一元的“是”或“非”替代了，问题就暴露了。

五，一维一元形式逻辑的根据是什么，在于事物的可分性，相对独立性，相对稳定性，边界性，层次性，因为事物总是“有限──无限”，“间断──连续”，“可分性──关联性”，认识的“具体性──抽象性”，一维一元形式逻辑正是“有限”，“间断”，“可分的“具体的”这些经验中抽象出来而构造的，然后又推向绝对，认为一维一元的形式逻辑就是绝对的逻辑。

六，一维一元逻辑是我们认识和判断的最基本的逻辑。因为人是“有限──无限”的统一体（任何具体的体系都是“有限”和“无限”的统一体）。我们的感觉好像是——人的认识只能是通过“有限”认识“无限”，通过“间断”认识“连续”，通过“分解”认知“关联”，通过“状态”认知“过程”，通过“静态”认知“动态”，通过“直”认知“曲”，通过“1”认知“2”。这是人的认识上的基本限制——基本结构。但是我们认识的事物却是“有限和无限”，“间断和连续”等的统一体，因此我们的逻辑就不能只停留在一维一元。

七，二维二元逻辑中的“自否逻辑”举例，（1）走路就是把（左脚→右脚)和(右脚→左脚）构造成自否关系。（2）运动正是在一点上的自否关系，如在A点上的运动是（非A→A, A→非A)。（3）水波，电磁波等波动正是两种运动形式两种能量的“二元互换”。（4）莫比乌斯纸带的（A面→B面，B面→A面）。（5）电磁继断器（可制造电铃）正是把（通→断）和（断→通）两个二元值构造在一体形成的“自否逻辑关系”。（6）中国的阴→阳，黑格尔的有→无，列宁的对立统一，毛 的一分为二 ，矛盾，都是自否关系。（7）我有一位师友毛秉鲁老师提出“此物他物生”，即任何物质由其他物质生成，也是自否关系。（8）粒子物理，量子物理中的粒子和量子已经不能看作质点，他们是有内部层次结构的“体系型单元”子，不是实的，也不是空的。如同一个“集合”体。

八，三次数学危机的思考，第一次和第二次都是重审了旧的知识体系，接受了“危机者”，扩大和提升知识体系，但对这第三次危机，总是想办法排除它，没有从接受它的视角去审视它，理解它。因为它动摇的是我们认为最不可动摇的那块基石——我们的逻辑。事实上，我们认为大楼必须建在可靠的大地上，可是现代的我们知道——地球正带着我们飞快地跑。

九，本体论，认识论，构造论三者之间的关系——回归认知重建——①被生成的人，②回归认知，③然后主动地自觉能动地重建未来--------

人是什么，人的发展进化是什么。



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从网上读到装下所有袋子的袋子的“自属集”问题。我想：装下自身的袋子是存在的，是把它自己翻过来——当我们问这个问题和回答这个问题时，我们已经把袋子分成内外两层，前后两个袋子了——正如佛家所说，不可问不可说，也如老子所言“道可道，非常道。”也如黑格尔的辩证法。毛 的“一分为二”。也如“薛定谔的猫”不可看，不可测。看或测就把原来的叠加态分裂了。一枚旋转着的硬币是三维空间的，正反两面的二元叠加态，当你要看它在桌面上哪面朝上时，你就破坏了它的三维二元叠加态，把他分裂为二维一元态了。单摆，波，走路，运动都是二元叠加态。集合就是二元叠加的表示，是元素和集合内外两层的叠加。因此才产生了二元自涉逻辑悖论。二元叠加就是二元捆绑，如公路上的汽车的分左右行驶，就是把两条无左右属性的单线在一个平面上进行了二元捆绑——但是，路是从无路的地面上产生的，因此第一个人走时一定是单线的，慢慢地成为来回双线路。这里有四种二元捆绑方式，其中香港是“左行驶”的捆绑方式，大陆是“右行驶”的捆绑方式。一旦把这种左右二元捆绑拆开，成一元单线三维立交，也就没有了左右之分，然后，可以重新改换捆绑方式。改变和创造就是拆解和重组。自我意识就是装下自己的袋子。即自己的意识对“自己的”意识--------