欧几里得83、欧几里得运用反证法，排中律，逻辑关系等知识进行证明

反证法：证明定理的一种方法。先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理。也叫归谬法（百度汉语）。
…谬：1.错误的；荒唐的。2.差错…
反证法2：通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。反证法的论证过程如下：首先提出论题；然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律——既然反论题为假，原论题便是真的。
…排中律：见《欧几里得80、81》…
“反证法通过证明与命题相矛盾的命题（即反命题）为假，来证明命题为真…”现代百姓说。
…
“欧几里得证明‘√2是无理数’过程中，先提出‘√2是无理数’的反命题——√2不是无理数（见《欧几里得80》）…”现代学者说。
“根据当时的学问，数要么是有理数，要么是无理数，没有第3种可能…”现代学者接着说，“√2不是无理数…根据排中律…√2是有理数…”
“欧几里得依据‘√2是有理数’进行推导…推导出了错误命题…”现代学者继续说。
…欧几里得推导出的错误命题：p、q有公约数2，这与前提“p、q互质”矛盾…见《欧几里得80》…
“根据逻辑关系‘公理是对的，推导方法是对的，那么得出的推论也是对的’知：推论是错的，推导方法、公理至少有一项是错的…”现代学者最后说。

“欧几里得的推导方法是对的…那么…根据‘推导方法、公理至少有一项是错的’知，欧几里得依据的公理是错的…”现代学者说。
“公理是‘√2是有理数’…”现代学者接着说。
“‘√2是有理数’是错的，那么…根据排中律，‘√2是有理数’的反命题——‘√2不是有理数’就是对的…”现代学者继续说。
“数要么是有理数，要么是无理数，没有第3种可能…√2不是有理数，根据排中律，√2是无理数…”现代学者最后说，“由此，‘√2是无理数’得证。”

“‘先提出反命题…’这种证明方法是反证法…欧几里得证明‘√2是无理数’过程中，运用了反证法、排中律、逻辑关系等知识…”现代学者说。
…
“√2是无理数”有诸多证明方法…网友“寂寞de小老鼠”曾用一篇文章描述这些方法…
文章名是《证明根号2是无理数的八种方法》…
“√2 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价（见《欧几里得13》）——后世的数学史家所说的‘第一次数学危机’盖源于此…”寂寞de小老鼠说。
“风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识…实数的概念开始确立…”寂寞de小老鼠接着说，“在此意义上讲，√2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证…”
…实数：见《欧几里得21》…

“质数：大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。
请看下集《欧几里得84、数学符号“（a，b）”；质数，互质数，互质数定理；完全平方数》”
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欧几里得84、数学符号“（a，b）”；质数，互质数，互质数定理；完全平方数

“换一个角度来看这个数（根号2），我们可以把它看作一根‘晾衣绳’，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味…我准备从不同的角度来证明√2是一个无理数，从而体会这一点…”寂寞de小老鼠最后说。
…寂寞de小老鼠：网友网名，见《欧几里得83》…
证法1：尾数证明法
“假设√2是一个有理数，即√2可以表示为一个分数的形式√2=a/b。其中（a，b）=1，a与b都是正整数。则a2=2b2（a的平方=2×b的平方）…”寂寞de小老鼠说。
…
（a，b）=1什么意思？？——网友提问
“（a，b）=1，即 a 与 b 最大的公因数是1…”网友“小小芝麻大大梦”说，“在数论中，记法（a，b）表示整数a与整数b的最大公约数（greatest common divisor，也译作最大公因数），即所有能同时整除 a 与 b 的正整数中最大的那一个…”
“比如，能同时整除 18 和 24 的正整数一共有四个：1，2，3，6。其中 6 最大，那么（18， 24）=6…”小小芝麻大大梦接着说，“（a，b）=1，即 a 与 b 最大的公因数是1（所有比 1 大的正整数都不能同时整除 a 和 b）…就是说，a与b互为质数…”
…质数：大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数…
…互为质数一般指互质数…
…互质数：公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数…

…互质数具有以下定理：
（1）公因数只有1的两个非零自然数,叫做互质数。举例：2和3，公因数只有1，为互质数；
（2）1和任何自然数互质。两个不同的质数互质。一个质数和一个合数，这两个数不是倍数关系时互质。不含相同质因数的两个合数互质。
（3）任何相邻的两个数互质…
…合数：自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4…
…因数：整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数而没有余数，我们就说b是a的因数…例如：6÷3=2，3是6的因数…
…质因数：用做因数的质数…
…
“由于完全平方数b2（b的平方）的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此2×b2（2×b的平方）的尾数只能是0、2、8中的一个…”寂寞de小老鼠接着说。
…完全平方数：完全平方指用一个整数乘以自己，例如1×1，2×2，3×3等，依此类推…；若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数；完全平方数是非负数…
…完全平方数2：如果一个正整数a是某一个整数b的平方，那么这个正整数a叫做完全平方数。零也可称为完全平方数…完全平方数性质如下：（1）个位数字只能是 0， 1，4，5，6，9 ；（2）任何偶数的平方一定能被 4 整除…

“∵ a2（a的平方）=a×a，a×a含有因数5
∴ a含有因数5（此处运用了排中律）
请看下集《欧几里得85、√2是无理数的证明方法：尾数分析法；奇偶分析法》”
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欧几里得85、√2是无理数的证明方法：尾数分析法；奇偶分析法

“由于完全平方数b2（b的平方）的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此2×b2（2×b的平方）的尾数只能是0、2、8中的一个…”寂寞de小老鼠接着说。
…尾数0、1、4、5、6、9，分别乘以2得0、2、8、10、12、18：新数的尾数为0、2、8。
…完全平方数：见《欧几里得84》…
…寂寞de小老鼠：网友网名，见《欧几里得83》…
“因为a2=2b2（a的平方=2×b的平方），所以a2（a的平方）与2b2（2×b的平方）的尾数都是0…”寂寞de小老鼠继续说。
…a2（a的平方）的尾数为0、1、4、5、6、9中的一个，2b2（2×b的平方）的尾数为0、2、8中的一个，a2=2b2（a的平方=2×b的平方）。满足上述条件的尾数只有0。因此，a2（a的平方）与2b2（2×b的平方）的尾数都是0。
“因此，b2（b的平方）的尾数只能是0或5…”寂寞de小老鼠最后说。
…2b2的尾数是0，b2（b的平方）的尾数为0、1、4、5、6、9中的一个。在0、1、4、5、6、9这些尾数中，只有0，5乘以2后，得到的新数的尾数是0。因此，b2（b的平方）的尾数是0或5。
“因此，a与b有公因数5…”寂寞de小老鼠说。

…∵ a2（a的平方）的尾数是0，尾数是0的正整数是5的倍数
∴ a2（a的平方）是5的倍数（此处运用的证明方法是三段论）

∵ a2（a的平方）是5的倍数
∴ a2（a的平方）含有因数5

∵ a2（a的平方）=a×a，a×a含有因数5
∴ a含有因数5（此处运用了排中律）

同理可证b含有因数5。

∴ a与b有公因数5

“a与b有公因数5，这与（a，b）=1矛盾！…因此√2是无理数…”寂寞de小老鼠说。
…（a，b）=1：a 与 b 最大的公因数是1；a ，b互质…见《欧几里得84》…
“这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数…”寂寞de小老鼠接着说。
…根：1.高等植物的营养器官，能够把植物固定在土地上，吸收土壤里的水分和溶解在水中的养分，有的根还能贮藏养料。2.事物的本原；人的出身底细：祸～。寻～。从～儿上解决问题。知～知底…
…平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就是a的平方根，也叫做a的二次方根。例如：5×5=25，5就是25的平方根…

证法2：奇偶分析法
“假设√2=a/b，其中（a，b）=1，且a与b都是正整数。则a2=2b2（a的平方=2×b的平方）…”寂寞de小老鼠说，“…可知a是偶数（详见《欧几里得80》）…”
“设a=2c，则4C2=2b2（4×c的平方=2×b的平方），b2=2c2（b的平方=2×c的平方）…可知b也是偶数…”寂寞de小老鼠接着说。

““b=1，则a=√2…这与‘a是正整数’矛盾…这是不行的…”寂寞de小老鼠说。
请看下集《欧几里得86、推动数学进步的网友：寂寞de小老鼠》”
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欧几里得86、推动数学进步的网友：寂寞de小老鼠

√2是无理数…证法2：奇偶分析法
“假设√2=a/b，其中（a，b）=1，且a与b都是正整数。则a2=2b2（a的平方=2×b的平方）…”寂寞de小老鼠说，“…可知a是偶数（详见《欧几里得80》）…”
…寂寞de小老鼠：网友网名，见《欧几里得83》…
“设a=2c，则4C2=2b2（4×c的平方=2×b的平方），b2=2c2（b的平方=2×c的平方）…可知b也是偶数…”寂寞de小老鼠接着说。
“因此a、b都是偶数…这与（a，b）=1矛盾！…因此2是无理数…”寂寞de小老鼠继续说。
…（a，b）=1：a 与 b 最大的公因数是1；a ，b互质…见《欧几里得84》…
“希帕索斯就是用这种方法证明了√2不是有理数（见《欧几里得79》），动摇了毕达哥拉斯学派的‘万物皆数（任何数都可表示成整数之比）’的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌…希帕索斯因此葬身海底（见《欧几里得13》）…”寂寞de小老鼠最后说。
…信仰：1.对某人或某种主张极度相信和尊敬，拿来作为自己行动的榜样或指南：宗教～（百度汉语）。2.人瞬间的想法叫思想，人保持很长时间的想法叫信仰。一个人的想法叫思想，一群人的想法叫信仰（《自然科学价值观》）…

证法3：
“仿上，得到a2=2b2（a的平方=2×b的平方），易见b>1…”寂寞de小老鼠说。
（“b=1，则a=√2…这与‘a是正整数’矛盾…这是不行的…”寂寞de小老鼠说。）
…仿上：模仿上面…
“a2=2b2（a的平方=2×b的平方）改写成b2=（a/2）a（b的平方=a/2×a）。因为b>1，因此b有质因数p，因此p整除a/2或a…总之，p整除a…”寂寞de小老鼠接着说。
…因：原故，原由，事物发生前已具备的条件：原～。～素。～果。病～…
…因数：整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数而没有余数，我们就说b是a的因数…例如：6÷3=2，3是6的因数…
…质因数：用做因数的质数…
…质因数2：在数论里是指能整除给定正整数的质数。根据算术基本定理，不考虑排列顺序的情况下，每个正整数都能够以唯一的方式表示成它的质因数的乘积。两个没有共同质因数的正整数称为互质。因为1没有质因数，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。只有一个质因数的正整数为质数…
“因此，p同时整除a与b…这与（a，b）=1矛盾…”寂寞de小老鼠最后说。
…
“‘√2是有理数’不符合矛盾律…‘错误’指‘不符合事实、或某种标准’（‘错误’的定义，见《欧几里得82》）…因此，不符合矛盾律的命题——√2是有理数是错的…”现代学者说。
“根据排中律，‘√2是有理数’的反命题——√2是无理数是对的…”现代学者接着说。
…排中律：见《欧几里得80、81》…

““‘幂’原指盖东西的布巾…数学中‘幂’是乘方的结果…而乘方的表示是通过在一个数字上加上标的形式来实现的…就像在一个数上‘盖上了一头巾’…”现代学者说，“把乘方叫做幂，形式上很契合…”
请看下集《欧几里得87、利用代数基本定理证明√2是无理数》”
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欧几里得87、利用代数基本定理证明√2是无理数

√2是无理数…证法4：
“仿上，得到a2=2b2（a的平方=2×b的平方），等式变形为b2=a2-b2=（a+b）（a-b）（b的平方=a的平方-b的平方=【a+b】【a-b】），因为b>1（见《欧几里得86》），因此存在质因数p，p整除a+b或a-b之一，或同时整除a+b与a-b…因此p能整除b…因为a2=2b2=2×b×b（a的平方=2×b的平方=2×b×b）…因此p能整除a…因此p是a、b的公因数——这与（a，b）=1矛盾…”寂寞de小老鼠说。
…寂寞de小老鼠：网友网名，见《欧几里得83》…
…仿上：模仿上面…
…质因数：见《欧几里得86》…
…（a，b）=1：a 与 b 最大的公因数是1，见《欧几里得84》…
“接下来的证法和‘证法3’中相同…”现代学者说。
…证法3：见《欧几里得86》…

证法5：利用代数基本定理

…
“根据代数基本定理，如果不考虑质因数的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成质数幂的积的形式，因此a=P1r1P2r2…Pmrm（a=p1的r1次方×p2的r2次方×…×pm的rm次方），b=q1s1q2s2…qnsn（b=q1的s1次方×q2的s2次方×…×qn的sn次方），其中P1，…，Pm与q1，…，qn都是质数，r1，…，rm与s1，…，sn都是正整数…”寂寞de小老鼠说。
…因数：见《欧几里得11》…
…幂：乘方运算的结果。nm（n的m次方）指m个n相乘。把nm（n的m次方）看作乘方的结果，叫做n的m次幂，也叫n的m次方…
“数学中的‘幂’，是‘幂’字面意思的引申…”现代学者说。
“‘幂’原指盖东西的布巾…数学中‘幂’是乘方的结果…而乘方的表示是通过在一个数字上加上标的形式来实现的…就像在一个数上‘盖上了一头巾’…”现代学者接着说，“把乘方叫做幂，形式上很契合…”
“在现实中盖头巾又有升级的意思…把乘方叫做幂正好契合了数学中指数级数快速增长的含义…”现代学者继续说，“把乘方叫做幂，内容上也很契合…”
…指数：幂运算aⁿ（a≠0）（读作“a的n次方”）中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角。幂运算表示指数个底数相乘。当n是一个正整数，aⁿ（a的n次方）表示n个a连乘…
…参：检验，用其他有关材料来研究，考证某事物：～考。～照…
…参数：表明现象、机构、装置的某种性质的量。如导电率、导热率、膨胀系数等…
“因为a2=2b2（a的平方=2×b的平方），所以P12r1P22r2…Pm2rm=21q12s1q22s2…qn2sn（P1的2r1次方×P2的2r2次方×…×Pm的2rm次方=2的1次方×q1的2s1次方×q2的2s2次方×…×qn的2sn次方）”，质数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此√2是无理数…”寂寞de小老鼠接着说。
…

“不等式就是用大于（＞），小于（＜），大于等于（≥），小于等于（≤）连接而成的数学式子，它一般有如下八个基本性质：…
请看下集《欧几里得88、“√2是无理数”证法6；不等式的基本性质；连分数》”
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欧几里得88、“√2是无理数”证法6；不等式的基本性质；连分数

√2是无理数…证法6：
“假设√2=a/b，其中右边是最简分数，即在所有等于a/b的分数中，a是最小的正整数分子…”寂寞de小老鼠说。
…寂寞de小老鼠：网友网名，见《欧几里得83》…
“在a2=2b2（a的平方=2×b的平方）的两边减去ab有a2-ab=2b2-ab（a的平方-ab=2×b的平方-ab），a（a-b）=b（2b-a），即√2=a/b=（2b-a）/（a-b）…”寂寞de小老鼠接着说。
“右边的分子2b-a＜a，这与a是最小的分子矛盾，因此√2是无理数…”寂寞de小老鼠最后说。
…已知√2=a/b，a、b是正整数，比较2b-a与a的大小。
∵ √2=a/b
∴ √2b=a
将√2b=a带入2b-a与a中，得：
2b-a=2b-√2b=（2-√2）b
a=√2b
比较2b-a与a的大小，等于比较（2-√2）b与√2b的大小。
比较（2-√2）b与√2b的大小，等于比较（2-√2）与√2的大小。（此处运用了不等式的基本性质。）
∵ 2-√2＜√2
∴ 2b-a＜a

不等式的基本性质：不等式就是用大于（＞），小于（＜），大于等于（≥），小于等于（≤）连接而成的数学式子，它一般有如下八个基本性质：
1.如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；（对称性）
2.如果x＞y，y＞z；那么x＞z；（传递性）
3.如果x＞y，z为任意实数或整式，那么x+z＞y+z，即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；（加法单调性，即同向不等式可加性）
4.如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz，即不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；（乘法单调性）
5.如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz，即不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变；（乘法单调性2）
6.如果x＞y，m＞n，那么x+m＞y+n；（加法单调性2）
7.如果x＞y＞0，m＞n＞0，那么xm＞yn；（乘法单调性3）
8.如果x＞y＞0，那么x的n次幂＞y的n次幂（n为正数），x的n次幂＜y的n次幂（n为负数）。（正值不等式可乘方；正值不等式可开方）…

证法7：连分数法
“因为（√2+1）（√2-1）=1，因此√2-1=1/（1+√2），√2=1+1/（1+√2）…”寂寞de小老鼠说。
“√2=1+1/（1+√2），将分母中的√2用‘1+1/（1+√2）’代替，有√2=1+1/（1+1+1/（1+√2））=1+1/（2+1/（1+√2））…”寂寞de小老鼠接着说，“不断重复这个过程，得√2=1+1/（2+1/（2+…）） ”
“这是一个无限连分数，而任何有理数都可以表示为分子都是1、分母为正整数的有限连分数，因此√2是无理数…”寂寞de小老鼠最后说。

“奠基最初的意思是在打地基盖房搞建筑或一切破土动工的时候，选择一个吉时，向在此地埋葬的无主坟或者一切生灵祭奠，告知他们将于此地破土动工，请他们知悉并谅解或迁徙他方…
请看下集《欧几里得89、构图法；“奠基”的渊源；数学概念：单位》”
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欧几里得89、构图法；“奠基”的渊源；数学概念：单位

√2是无理数…证法8：构图法
“以上诸多证法的关键之处在于证明a2=2b2（a的平方=2×b的平方）没有正整数解…”寂寞de小老鼠说。
…寂寞de小老鼠：网友网名，见《欧几里得83》…
…以上诸多证法：见《欧几里得83~88》…
“另外，可以b、a为边构造正方形（b＜a）（如图所示）…因为a2=2b2（a的平方=2×b的平方），因此图中空白部分的面积等于中间黑色阴影部分的面积——它们都是正方形…”寂寞de小老鼠接着说。
“这就找到了一组更小的正整数（a，b）满足a2=2b2（a的平方=2×b的平方）…无穷递降下去，这个过程可以无限进行，矛盾！”寂寞de小老鼠最后说。

2017年3月30日，匿（nì）名网友发表了篇名为《如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？》的论文。
…匿：隐藏；不让人知道：隐～。～名。～居深山。～影藏形…
…匿名：不写名或不写真实姓名：～信。～举报…
“古希腊曾有‘万物皆数’的思想，这种认为‘大自然的一切皆为整数之比’的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证明的…”网友说。
“当时的很多数学证明都隐性地承认了‘所有数都可以表示为整数之比’…‘万物皆数’的思想是古希腊数学发展的奠（diàn）基…直到有一天，毕达哥拉斯的学生Hippasus（通常译为希帕索斯）说，单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比…”网友接着说。

…奠：1.定；建 立：～都。2.陈设祭品举行仪式向死者致祭：祭～…
…奠基：奠定建筑物的基础：～石。举行～典礼。鲁迅是中国新文学的～人…
“奠基最初的意思是在打地基盖房搞建筑或一切破土动工的时候，选择一个吉时，向在此地埋葬的无主坟或者一切生灵祭奠，告知他们将于此地破土动工，请他们知悉并谅解或迁徙他方…”现代学者说，“这是一种尊重和告慰之礼，也是阴阳和合的我国古代的和谐哲学…是我国古老的传统仪式…”
“发展到如今…为了树立科学破除迷信，人们逐渐的把‘奠基’含有的迷信色彩成份去除，把祭奠的含义淡化，而只保留了‘奠定建筑物的基础’这一层形式含义…而奠字的本意就是设酒食以祭（jì）之意，从其字形中便可知晓…”现代学者接着说。
…祭：1.对死者表示追悼的仪式：～奠。公～。2.古代杀牲供奉鬼神：～祀（sì）。～天…
…单位：计量事物的标准量的名称。如米为计量长度的单位，千克为计量质量的单位，升为计量容积的单位等…
“单位就是将一定数量物质的集合规定为‘1’，成为一个单位…”现代百姓说。
“从广义上讲，单位是一个相对概念，其为事物坐标系中的坐标轴中能构成个体的抽象概念…事物的最小单位为0…”现代百姓接着说。
…

“中学课程中安排了一段反证法…当时有个题目叫我们证根号2是无理数…当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到…这种感觉正如前文所说：直到看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等诡异的证明…
请看下集《欧几里得90、西奥多罗斯的贡献：证明了3到17的非平方数的根是无理数》”
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欧几里得92、数学家西奥多罗斯能做到的，我们也能做到

“如果p=2k+1，q=2m+1，把它们代进p2=xq2（p的平方=x·q的平方），有8[k（k+1）/2–xm（m+1）/2]=x-1…（化简过程见《欧几里得91》）…”网友接着说。
“于是x-1必须是8的倍数…”网友继续说。
…证明：
由《欧几里得91》知，k（k+1）/2，m（m+1）/2均是整数。
∴ 8[k（k+1）/2–xm（m+1）/2]=x-1可表示成8（整数-x·整数）=x-1
∵ x是正整数（见上集）
∴ 8（整数-x·整数）=x-1可表示成8（整数-整数·整数）=整数-1
8（整数-整数·整数）=整数-1
两边同时除以8：
整数-整数·整数=（整数-1）/8
∵ “整数-整数·整数”是整数
∴（整数-1）/8是整数
∴ （整数-1）必须是8的倍数
∴ x-1必须是8的倍数。
…
“如果当时Theodorus（西奥多罗斯）是这么证明的，那么他可以得到这样一个结论：如果x-1不能被8整除，那么√x就不可能被表示成p/q，即√x不是有理数…”网友最后说。
…
证明√x（x是自然数）不是有理数。
设√x是有理数
则√x=p/q（p、q是正整数）
…有理数的性质：有理数可以表示成两个整数之比。
如果x是奇数且p/q不能再约分，那么p和q都是奇数（证明见《欧几里得91》）。
奇数可以表示成2n+1（n为整数）。
…奇数的定义。
∴ p可以表示成2k+1，q可以表示成2m+1。（k、m为正整数。）

∵ p=2k+1，q=2m+1时，p2=xq2（p的平方=x·q的平方）成立的条件是：x-1是8的倍数。
∴ x-1不是8的倍数时，p2=xq2（p的平方=x·q的平方）不成立。
p2=xq2（p的平方=x·q的平方）不成立，即：√x=p/q不成立…√x无法表示成p/q…√x是无理数。
∴ x-1不是8的倍数时，√x是无理数
…
“x-1不是8的倍数时，√x是无理数…好了，现在3、5、7、11、13减去1后都不是8的倍数，它们的平方根一定不是有理数…”网友说。
“在x=9时发生了一次例外，但9是一个平方数…”网友接着说。
…x=9时发生了一次例外：x=9时，x-1=9-1=8，是8的倍数。
根据“x-1不是8的倍数时，√x是无理数”，无法判断√9的平方根是无理数，还是不是无理数。
“我们知道，√9的平方根是3，不是无理数…所以‘√9的平方根是无理数，还是不是无理数’不需要再判断…”现代学者说。
“因此，西奥多罗斯得以越过9，继续证下去…”现代学者接着说。
…
“而当x=17时这种证明方法没办法解释了，于是Theodorus就此打住…”网友最后说。
…x=17时，x-1=17-1=16，是8的倍数。
根据‘x-1不是8的倍数时，√x是无理数’，无法判断√17的平方根是无理数，还是不是无理数。
“从17开始，‘x-1不是8的倍数时，√x是无理数’这种证明方法开始失效…西奥多罗斯无法继续证下去…所以他就此打住…”现代学者说。

““有人觉得奇怪了：既然当时没有代数，古希腊人是怎么提出‘所有数都可以表示为整数之比’的呢？…”网友继续说，“其实古希腊人根本没有提出什么整数之比，这是后人的一个误解…当时毕达哥拉斯学派提出的，叫做‘公度单位’…”
请看下集《欧几里得93、现代司空见惯的“奇数x偶数y”，放在古代却是高科技》”
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欧几里得93、现代司空见惯的“奇数x偶数y”，放在古代却是高科技

“0的平方根是0，1是平方根是1，2的平方根（√2）已被希帕索斯证明是无理数（见《欧几里得79》），4、9、16…是平方数，它们的平方根是已知的数…”另一位现代学者说，“所以…西奥多罗斯打算寻找剩下的数的平方根…”
“剩下的数是：3、6、7、8…”现代学者接着说。
“如果剩下的数的平方根不能用整数之比表示出来…那它们就和√2一样，是无理数…”现代学者继续说。
“西奥多罗斯曾尝试证明它们是无理数，并成功证明‘3到17的非平方数的根是无理数’（见《欧几里得90~92》）…”现代学者最后说。
…
“实际上，我们上面说的这么多（见前文），在古希腊的数学体系中是根本不可能出现的…”网友说，“毕达哥拉斯时代根本没有发展出代数这门学科来…它们掌握的只是纯粹的几何…因此，Hippasus（通常译为西奥多罗斯）当时的证明不可能像我们现在这样搞点什么奇数x偶数y之类的高科技东西…”
…代：代替…
…代数：数学的分支学科。通过用字母代表数进行运算。能简明地表示数量关系…
“事实上，Hippasus当时完全运用的平面几何知识来证明他的结论…”网友接着说。
…平面：在空间中，到两点距离相同的点的轨迹…
…平面2：由显示生活中（例如镜面、平静的水面等）的实物抽象出来的数学概念，但又与这些实物有根本的区别。既具有无限延展性（也就是说平面没有边界），又没有大小、宽窄、薄厚之分…
（…抽象：见《欧几里得17》…）

…几何：1.多少：价值～。2.数学的分支学科。研究物体的形状、大小和位置及它们的相互关系…
…平面几何：几何学的一个分支，研究平面图形的性质，如形状、大小、位置等…
…平面几何2：指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。也称欧几里得几何。平面几何研究的是平面上的直线和二次曲线（即圆锥曲线， 就是椭圆、双曲线和抛物线）的几何结构和度量性质（面积、长度、角度，位置关系）。平面几何采用了公理化方法，在数学思想史上具有重要的意义…
“有人觉得奇怪了：既然当时没有代数，古希腊人是怎么提出‘所有数都可以表示为整数之比’的呢？…”网友继续说，“其实古希腊人根本没有提出什么整数之比，这是后人的一个误解…当时毕达哥拉斯学派提出的，叫做‘公度单位’…”
…公：共同的…
…度：计量长短：～量衡…
…公度：几何学概念。对于两条线段a和b，如果存在线段d，使得a=md，b=nd（m，n为自然数），那么称线段d为线段a和b的一个公度。并称线段a和b为可公度线段或可通约线段。如果对于线段a和b，这样的线段d不存在，那么称线段a和b为无公度线段或不可通约线段…

““欧几里德算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。是由古希腊数学家欧几里德在其著作《The Elements》中最早描述的，所以被命名为‘欧几里德算法’…”现代学者说。
请看下集《欧几里得94、欧几里德算法（辗转相除算法）》”
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欧几里得94、欧几里得算法（辗转相除算法）

…公：共同的…
…度：计量长短：～量衡…
…公度：几何学概念。对于两条线段a和b，如果存在线段d，使得a=md，b=nd（m，n为自然数），那么称线段d为线段a和b的一个公度。并称线段a和b为可公度线段或可通约线段。如果对于线段a和b，这样的线段d不存在，那么称线段a和b为无公度线段或不可通约线段…
…自然数：用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4…表示的数…
“自然数就是对自然界存在的物体计数的数…”现代学者说，“因此人们称它们为自然数…”
…单位：见《欧几里得89》…
…公度单位：用于计量长短的单位…
“两条线段的公度单位，简单的说就是找一个公度量，使得两条线段的长度都是这个公度量的整倍数（于是这个公度量就可以同时作为两条线段的单位长度并用于测量）…寻找公度量的方法相当直观，就是不断把较长的那个线段减去短的那个线段，直到两个线段一样长…”网友最后说。
“熟悉数论的同学一下就明白了：这就是欧几里德的辗（zhǎn）转相除算法求最大公约数…”网友说。
…数论：见《欧几里得10》…
…辗：（车）轮转动…
…辗转：1.也作展转。2.（躺在床上）翻来覆去：～不眠。3.经过许多人的手或经过很多地方；间接地：～流传…

…辗转相除一般指欧几里得算法…
欧几里得算法：又称辗转相除法。用于计算两个正整数a，b的最大公约数。
“欧几里得算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。是由古希腊数学家欧几里德在其著作《The Elements》中最早描述的，所以被命名为‘欧几里得算法’…”现代学者说。
…The（英语）：那个…
…element（英语）：要素；基本部分；典型部分…
…elements：element的复数…
…复数：某些语言中由词的形态变化等表示的两个或两个以上的数量。例如英语里book（书，单数）指一本书，books（书，复数）指两本或两本以上的书…
…《The Elements》：《几何原本》…
“假如需求1997和615两个正整数的最大公约数…用欧几里得算法，是这样进行的：…”现代学者接着说。
求1997和615的最大公约数…用欧几里得算法，是这样进行的：
1997/615=3（余152）
615/152=4（余7）
152/7=21（余5）
7/5=1（余2）
5/2=2（余1）
2/1=2（余0）
至此，1997与615的最大公约数为1。
“以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数。所以就得出了1997和615的最大公约数 1…”现代学者最后说。
…
网友曾向数学爱好者介绍辗转相除算法…
“上个视频，我们学习了如何用分解质因数法求最大公因数和最小公倍数。在使用这个方法时，需要先将每个数分解质因数。例如90=2×32（90=2×3的平方），105=3×5×7…”网友说。

“生活不止有眼前的苟且，还有诗和远方。——Angela韩雪倩
请看下集《欧几里得95、欧几里得算法（辗转相除算法）2》”
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欧几里得95、欧几里得算法（辗转相除算法）2

“上个视频，我们学习了如何用分解质因数法求最大公因数和最小公倍数。在使用这个方法时，需要先将每个数分解质因数。例如90=2×32（90=2×3的平方），105=3×5×7…”网友说。
“但并不是每个数都那么好分解…比如这两个数就很难分解：3139=？2117=？…”网友接着说。
“遇到这种情况，分解质因数法也无能为力…这怎么办？”网友继续说。
“不用担心，这种情况就是辗转相除法大显身手的时刻…”网友最后说。

“辗转相除法主要用来计算两个数的最大公因数，在使用时，先用较大的除以较小的，算出余数。然后用除数继续除以余数，求出新的余数。接着再用除数除以余数…不停循环…直到余数为0，”网友说。
“此时的除数就是最大公因数…”网友接着说。
…
求（大数，小数）
…（a，b）：在数论中，记法（a，b）表示整数a与整数b的最大公约数（greatest common divisor，也译作最大公因数），即所有能同时整除 a 与 b 的正整数中最大的那一个…
大数÷小数=商…余A
小数÷A=商…余B
A÷B=商…余C
…
被除数÷除数=商…余0
此时除数就是最大公因数。
…

“比方说这两个数：3139，2117…”网友继续说，“首先用3139除以2117，商1，余1022。然后用除数2117除以1022，商2余73。接着继续用1022除以73，商14余0。余数为0，就此打住…”
“此时的除数73，就是3139和2117的最大公因数…”网友最后说。
…
求（3139，2117）
3139÷2117=1……余1022
2117÷1022=2……余73
1022÷73=14……余0
73就是3139和2117的最大公因数。
…

“无论两个数多大，用辗转相除法都可以方便的求出最大公因数…是不是很厉害！”网友说。
“这个方法，大家以后在学计算机编程的时候还会见到…到时，你可以让电脑快速计算最大公因数…是不是很帅！”网友接着说。
…
“辗转相除法最大的用途就是用来求两个数的最大公约数。用（a，b）来表示a和b的最大公约数。有定理：已知a，b，c为正整数，若a除以b余c（a÷b=商……C），则（a，b）=（b，c）…”网友angela韩雪倩说。
“证明过程请参考其它资料…”Angela韩雪倩接着说。
…angela韩雪倩：百度问答用户…Angela韩雪倩的个性签名是“生活不止有眼前的苟且，还有诗和远方”…
…小学数学用“a÷b=商……C（a除以b余c）”表示有余数的除法。
…（a，b）=（b，c）：（被除数，除数）=（除数，余数）；被除数、除数的最大公因数=除数、余数的最大公因数…
…被除数、除数的最大公因数=除数、余数的最大公因数：例如，15、8的最大公因数为1，15除以8余7（15÷8=1……7），8、7的最大公因数是1，15、8的最大公因数=8、7的最大公因数=1…

““余数用r表示，r是remainder的首字母…”现代学者说。
…remainder（英语）：n.其他人员；剩余物；剩余时间；差数；余数；廉价出售的图书；滞销图书…
请看下集《欧几里得96、辗转相除法的计算原理；取模运算和取余运算》”
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欧几里得96、辗转相除法的计算原理；取模运算和取余运算

“辗转相除法…其计算原理依赖于下面的定理：”现代学者说。
…辗转相除法：见《欧几里得94》…
…原理：可以作为其他规律的基础的规律…
下面的定理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数。
…其它表述为：被除数、除数、余数是整数，被除数除以除数，得到余数，则（被除数，除数）=（除数，余数）；a、b、c是整数，a除以b余c，则（a，b）=（b，c）；a、b、c是整数，a÷b=商……c，则（a，b）=（b，c）…
…（a，b）：整数a与整数b的最大公约数…见《欧几里得95》…
…
“a、b、c是整数，a÷b=商……c，则（a，b）=（b，c）”有多种证法：
证法一
a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数，且r<b），则r = a mod b
…mod：“Module Operation”的首字母缩写（取前三个字母）…
…module（英语）：n.单元（尤指英国大学课程的一部分）；模块；功能块；程序块；组件；配件…
（…名词Noun，简称n.…
…Noun：英语，意思是“名词”…）
…Operation（英语）：n.操作；经营；[外科]手术；[数][计]运算…
（…[数]：数学行业…
…[计]：计算机行业…）
…Module Operation：取模运算…

取模运算：取模运算（“Module Operation”）和取余运算（“Complementation”）两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。取模主要用于计算机术语中。取余则更多是数学概念…
…Complementation（英语）：n.补充；（动词的）补足语，补语…
“模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用…从奇偶数的判别到质数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影…”现代百姓说，“虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多…”
…质数：大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数…
…幂：见《欧几里得87》…
…模幂运算、孙子问题、恺撒密码：内容量太大了，这里就不介绍了…

对于正整数a，b来说，取模运算或者求余运算的方法都是：
1.求整数商：c = a/b
…a=c·b+r
…r：余数…
（“余数用r表示，r是remainder的首字母…”现代学者说。
…remainder（英语）：n.其他人员；剩余物；剩余时间；差数；余数；廉价出售的图书；滞销图书…
2.计算模或者余数：r = a-c·b
…
“取模是怎么运算的？…希望可以讲得通俗一点…”网友提问。

““对数字来说，整数是完整模块…‘取出模块’的意思就是‘取出整数’——也就是取出余数…”现代学者说。
请看下集《欧几里得97、大神们可不可以讲一下取模是什么意思？最好比如一下，本人数学没学好》”
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欧几里得97、大神们可不可以讲一下取模是什么意思？最好比如一下，本人数学没学好

“大神们可不可以讲一下取模是什么意思？我在学C语言开发…看视频…里面有什么取模…因为不懂所以才上网查一下，其实就是除法是吗？…只是它是取余…可是，我用计算器20取模3（20 mod 3），就是用20除以3就是6.666……7…那我在linux上写20取模3，结果就是2…是为什么呢？能不能讲解一下？…最好比如一下…本人数学没学好。。”网友补充道。
…取：选取…
…模：模块…
…模块：电子计算机软件中，一个具有独立执行某种功能的程序单元叫做模块。一个大型软件可以分解为多个模块…
…取模：取出模块…
“对数字来说，整数是完整模块…‘取出模块’的意思就是‘取出整数’——也就是取出余数…”现代学者说。
“…字面上理解，取出的必须是整数…不能是小数…”现代学者接着说。
…mod：“Module Operation”的缩写…也是“Module Operation”的前三个字母…
…module（英语）：模块…见《欧几里得96》…
…operation（英语）：运算…见《欧几里得96》…
…Module Operation：取模…
…20 mod3：20除以3后，取模…
“20除以3，商6余2（20÷3=6……2）…取模的结果是2…”现代学者说。
“‘取模’是‘取余’的意思…”现代学者接着说。
…linux：一套免费使用和自由传播的类UNIX操作系统…
…类UNIX：一种操作系统…
…操作系统（计算机管理控制程序）：管理计算机硬件与软件资源的计算机程序，同时也是计算机系统的基石。操作系统需要处理如管理与配置内存、决定系统资源供需的优先次序、控制输入设备与输出设备、操作网络与管理文件系统等基本事务。操作系统也提供一个让用户与系统交互的操作界面…操作系统举例：iOS（苹果系统）、Android（安卓系统）、微软Windows…
“取模…简单来说，就是小学刚学除法时候，5除以2得不到整数，又没学小数，怎么办？只能5除以2等于2，余下一个1。这个1就是余数。取余就是取出这个数…”网友说。
“简单的理解就是取余数…20除以3，商为6，余数为2，所以结果是2…你在计算器上算的是除法，所以是6.66666…”网友“一颗程序猿o_0”说。
“取模就是求余数的运算，例如10除以4的余数是2，于是取模的结果就是2…”网友“bieskirt”说。
…

“…
请看下集《欧几里得98、小学生能学会的大学数学：辗转相除算法计算原理的两种证明》”
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欧几里得98、小学生能学会的大学数学：辗转相除算法计算原理的两种证明

a÷b=k……r（a、b、k、r是整数），则（a，b）=（b，r）。
…两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数。
…a÷b=k……r：被除数（a）÷除数（b）=商（k）……余数（r）…
证法一
a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r都是正整数，且r＜b），则r = a mod b
…∵ a÷b=k……c
∴a/b=k……c
∴ a=kb+c
…
…mod：见《欧几里得97》…

∵ a = kb + r
∴ r = a - kb
假设d是a，b的一个公因数（即a和b都可以被d整除）。
r = a - kb两边同时除以d，得：r/d=a/d-kb/d
∵ a和b都可以被d整除
∴ a/d是整数；kb/d是整数
∵ 整数-整数=整数
∴ “a/d-kb/d”是整数
∵ r/d=a/d-kb/d
∴ r/d是整数。即r可以被d整除。
∴ d是b，r的公因数

假设d是b，r的公因数, 则b和r都可以被d整除。
a = kb + r 两边同时除以d，得：a/d=kb/d-r/d
∵ b和r都可以被d整除
∴ b/d是整数；r/d是整数
∵ k是整数
∴ kb/d是整数；“kb/d-r/d”是“整数-整数”——结果还是整数
∵ “kb/d-r/d”是整数；a/d=kb/d-r/d
∴ a/d是整数。即d能整除a。
∴ d也是a，b的公因数。
由证明过程知，（a，b）和（b，a mod b）的公因数是一样的。
∴ 其最大公因数也必然相等。
原命题得证。

证法二
令c=（a，b），设a=mc，b=nc
…（a，b）：在数论中，记法（a，b）表示整数a与整数b的最大公约数（greatest common divisor，也译作最大公因数），即所有能同时整除 a 与 b 的正整数中最大的那一个…
…c=（a，b）：c是整数a与整数b的最大公因数…
∵ r=a-kb；a=mc，b=nc
∴ r=a-kb=mc-knc=（m-kn）c
∴ c也是r的因数
可以判定m-kn与n为互质数。
（…互质数：公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数…）
…假设m-kn与n不是互质数
设m-kn=xd，n=yd，（d是整数；d＞1）
∵ m-kn=xd
∴ m=kn+xd
∵ n=yd
∴ m=kn+xd=kyd+xd=（ky+x）d
∵ m=（ky+x）d；a=mc，b=nc
∴ a=mc=（ky+x）dc，b=nc=ycd
即a=（ky+x）dc，b=ycd
观察“a=（ky+x）dc，b=ycd”知：a与b最大公因数要么是cd，要么比cd大。
这与前面“c是整数a与整数b的最大公因数”矛盾。
“m-kn与n不是互质数”违反了矛盾律。
…矛盾律：对两个矛盾的判断不能同时承认它们都是真的…它们中至少有一个是假的…见《欧几里得82》…
∴ “m-kn与n不是互质数”是假命题。
根据排中律，“m-kn与n不是互质数”是假命题，那么“m-kn与n不是互质数”的反命题——m-kn与n是互质数，就是真命题。
…排中律：对同一问题做的两个互相矛盾的判断中，必有一个是真的，非此即彼…见《欧几里得80》…
“m-kn与n是互质数”得证。
…
∵ r=（m-kn）c，b=nc，m-kn与n是互质数
∴ （b，r）=c
∵ c=（a，b）
∴ （a，b）=（b，r）=c
原命题得证。

“第一次数学危机的根结就在于，古希腊人理所当然地相信不断地截取线段，总有一个时候会截到两个线段一样长。后来，Hippasus（通常译为希帕索斯）画了这么一张图，告诉大家了一个反例：有可能这个操作会无穷尽地进行下去…
请看下集《欧几里得99、辗转相除的正方形图示》”
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