以狭义相对论的方式建立量子力学的理论
袁学锋 [email protected]
如果没有爱因斯坦的狭义相对论，时空关系也会像量子力学一样难以理解。爱因斯坦用两条简单的规则解决了问题。光速始终不变，两个相对速度不变的观察者所存在的物理规则相同。狭义相对论的前提简单明了，物理意义明确。如果我们用狭义相对论的方式重建量子力学，那么就应该同样以一个物理极值为前提建立理论。我们先尝试完成最基本的部分，用这个前提推导物质波的公式、不确定性原理和共轭变量的不对易性。
狭义相对论用的物理极值是光速c。量子力学可用的物理极值当然是普朗克常量h。狭义相对论只有一个假设包含光速c。如果量子力学的理论同样只需要一个包含普朗克常量h的假设，那么就面临一个困难：物质波理论有频率和波长两个独立的公式，都包含h。那么逻辑上，我们必须能用这个新的假设证明物质波两个公式实际上不是独立的，而是可以相互导出。这个证明无法在量子力学的现有框架内实现。因为波是量子力学的基本概念，而频率和波长则是波的基本概念。外部可用的现代物理理论自然只有相对论。如果物质波理论只需要一个公式，那么量子力学的本质和波无关。
以极值为前提还有一个数学上直观的好处。不确定性原理是一个不等式，而极值本身包含不等式。比如狭义相对论的光速不变原理，自然包含不等式：∆s/∆t≤c。即物质的运动速度v=∆s/∆t不能超过光速c。如果没有光速不变原理，∆s/∆t≤c这个不等式会是时空关系的重要原理。
现在我以普朗克常量h为前提做假设：对于一个能量不变的物质，它的能量和同时性的时间长度的乘积等于约化普朗克常量的一半：h/4π。设物质的能量为E，这个同时性的时间长度为t，有等式
Et=(h)/4π （1）
这个等式是物质波的频率公式：E=hω/2π的变化形式。频率是一个时间长度的倒数。同时性的时间长度t是物质波频率ω倒数的一半。这个假设的物理意义是，物质的能量和一个同时性的时间长度相关，而不是物质波所定义的和一个固有频率相关。或者说能量同时存在于一个时间段，而不是某个时刻。对于能量E，因为同时性，我们不能获得小于这个时间长度t的确定时间，所以这个假设包含不确定性原理中能量和时间的关系：∆E∆t≥h/4π。从这个假设容易看出，物质波的频率公式就是能量和时间这对共轭变量的关系。可以设想，物质波的波长公式就是动量和空间位移这对共轭变量的关系。如果能证明物质波的频率公式和波长公式是统一的，那么也同时证明了能量和时间、动量和空间位移这两组共轭变量对是统一的。
如果物质自身都有一个同时性的时间长度，那么对于一个运动的物质，这个时间段如何在空间展开？讨论时空关系，当然就用到相对论。爱因斯坦在建立狭义相对论的时候分析过同时性。通过研究时钟同步行为，创立了同时的相对性。我们仔细思考著名的火车思想实验。爱因斯坦的分析是一个定性实验。如果要推导出两个相对运动的坐标系之间的时空变换关系，需要定量同时的相对性。时间长度等于空间长度除于速度。那么这两个坐标系在一段空间上的时钟差别需要一个速度定量出来。爱因斯坦并没有指出这个速度的存在。但这个速度在狭义相对论的洛伦茨变换中必然存在，否则狭义相对论就不成立了。我们看狭义相对论的时间坐标变换公式t^'=(t-vx/c^2 )/√(1-v^2/c^2 )。公式右边的分子部分是t-vx/c^2 ，其中的vx/c^2 定量了同时的相对性。 vx/c^2 =x/(c^2/v)。x是空间坐标，这个速度自然就是c^2/v。和物质波的相速度相同。同时性的速度C^2/v不是一个实在的速度，而是相对运动的时空隐含的特性，所以它不是任何粒子或波的运动速度。对于一个运动的物质，同时性的空间长度等于同时性的时间长度t乘以同时性的速度c^2/v。设这个空间长度为x，对于这个物质，有
x=tc^2/v （2）
由（2）得到t=xv/c^2 。把t代入等式（1）。得到
Evx/c^2 =h/4π （3）
假设这个物质的质量为m，把能量公式E=mc^2 代入（3），得到
(mc^2 vx)/c^2 =h/4π mvx=h/4π （4）
把动量公式P=mv代入（4）。得到等式
Px= h/4π （5）
物质的动量P和同时性的空间长度x的乘积也等于h/4π。对比物质波的波长公式：P=h/2πƛ，这其实就是波长公式的变化形式。同时性的空间长度x等于物质波的波长ƛ的一半。这证明物质波的频率公式和波长公式是统一的，可以通过狭义相对论的时空关系相互导出。对于动量P，我们不能获得小于这个同时性的x的确定空间长度，它就包含不确定性原理中动量和空间位移的关系：∆P∆x≥h/4π。这证明了能量和时间、动量和空间位移这两对共轭变量的不确定性是统一的。这同时证明物质波理论和不确定性原理只是同一个物理本质的不同表述。
同时性的空间长度伴随着物质的运动，没有独立的速度。它不是波，所以不会发散，也不和其它粒子相关。重要的是，无论这个同时性的空间长度有多大，单一粒子的量子现象是定域、同时性的，而不是通常认为的非定域、超光速的。粒子没有被确定位置的这个同时性的空间就是粒子自身能够发生干涉的空间。这使我们容易理解为什么测量使干涉现象消失了。测量是在空间定位运动粒子。运动粒子在同时性空间的不确定性是干涉发生的原因，那么它在空间的确定性就是干涉消失的原因。量子现象不受光速限制，但它不和狭义相对论冲突。相反，它被狭义相对论所定义的时空关系所支持。
我们换一种和爱因斯坦不同的办法推导同时性的速度c^2/v，在物理学里引入非实在的隐变量。并用这个办法推导共轭变量的不对易性，及解释复数形式的几率幅的概念。同时给出非实在的变量、实在的变量和极值之间的的数学关系。我们既需要解释为什么存在非实在的变量，又需要解释为什么它不直接出现在相对论和量子力学的方程里。
闵可夫斯基把时间和空间统一到一个时间维和三个空间维组成的四维时空结构。在闵可夫斯基时空里，时间t通过光速c转换为和三维空间正交的虚空间，数学上表示为ict。这个物理意义很好理解。时间上差t，相当于光走了ct的距离。假设物质沿x轴运动，和空间合起来，表示为x+ict。按照对称性原理，把闵可夫斯基的方法扩展一下。空间也可以通过光速c转换为和时间正交的虚时间，数学上可以表示为ix/c。物理意义上，空间上相距x的距离，相当于光要走x/c的时间。和时间合起来，表示为t+ix/c。对于一个运动的物质，存在一个速度v等于空间长度x除于时间长度t，有v=x/t；对应的，此时同时存在一个虚速度，设为u，等于虚空间长度ct除于虚时间长度x/c。
u=ct/(x/c) u=c^2/(x/t) （6）
代入速度公式v=x/t， 得到
u=c^2/v （7）
v有极大值c时，u有极小值c。
一个以速度v运动的物质必然伴随着一个c^2/v的虚速度，但不是什么波的速度，而是狭义相对论的时空关系中隐含的变量。
把速度v换到左边，有
vu=c^2。 （8）
等式的右边是不变量c^2。
洛伦茨变换的不变量应该都和光速的平方c^2有关。
我们用上面同样的转换办法处理能量和时间这对共轭变量。物理意义上，时间上变化t，相当于能量发生了h/4πt的变化。数学上表示为和能量正交的虚能量ih/4πt。时间变化在前，能量E要加上虚能量i h/4πt，等于E+i h/4πt。时间变化在后，能量E要减去虚能量i h/4πt，等于E-i h/4πt。共轭变量乘积对易后的差值=t(E+i h/4πt)-(E-i h/4πt)t=i h/2π。就是正则对易关系。这证明不对易性也来自于同一物理本质。物质波理论、不确定性原理和共轭变量的不对易性可以从同一个物理假设导出。我们已知道数学上，共轭变量的正则对易关系可以推导出它们的不确定性。上面的转换办法能显示明确的物理意义，也容易理解为什么共轭变量的不对易性是出现一个和普朗克常量h有关的虚数。
对称的，能量的变化E也可以通过极值h/4π转换为虚时间i h/4πE。这样，和速度v会同时对应一个虚速度c^2/v一样，共轭变量的乘积，设为x，等于能量E乘以时间长度t，也会同时对应一个虚的共轭变量的乘积，设为y，等于虚能量h/4πt乘以虚时间长度h/4πE。于是我们有
x=Et （9）
y=(h/4πt)(h/4πE) y= (h/4π)^2/Et （10）
把（9）x=Et 代入（10）。得到
y=(h/4π)^2/x （11）
x有极小值h/4π时，y有极大值h/4π。
y定量共轭变量乘积的变化时不同能量的同时性差别。
把共轭变量乘积x换到左边， 有
xy=(h/4π)^2 （12）
等式的右边是不变量(h/4π)^2。
数学上，等式（12）的左边允许出现负能量或负时间，但不在前面的推导过程中。同时，x和y可以是不同的共轭变量对，比如一组是能量和时间，另一组是动量和空间位移。由极值h/4π决定的同时性的时空就是能量不变的运动粒子变化的周期和范围。而描述这个粒子在这个同时性的时空中的几率分布的方程应该保持(h/4π)^2这个不变量。如果同时满足洛伦茨变换，那么方程还要包含光速的平方c^2。
特别的，如果等式（8）和（12）两边都可以开平方根，等式右边的不变量就分别变成c和h/4π。
√vu=c （13）
√xy=h/4π （14）
除了四个不变量c^2、(h/4π)^2、c、h/4π，它们之间又可以有四组组合：c^2和(h/4π)^2、c和(h/4π)^2、c^2和h/4π 、c和h/4π。我不知道这些不变量和组合是否描述不同的物质存在方式。物理学的历史告诉我们，逻辑上允许的存在都会存在。
从上面的转换方法看，狭义相对论和量子力学这两大现代物理的基础理论，不仅直接相关，而且隐含的两个相关物理量的自然法则和数学形式是一样的。
因为同时性，一个运动粒子在同时性的空间上各点存在的几率是相关的。因为粒子的多样性，这个相关性很复杂。这里只讨论最简单的情况，重点分析一下双缝干涉如何能从微观过渡到宏观。假设粒子在这个空间某一点A的几率是a，而在其余处的几率是b。并假设它们正相关，在整个同时性的空间发现粒子的几率可以表示为两者之和a+b。a+b不像宏观的的情况等于1，而是≥1，并有一个极大值，设为g。和前面处理时空与共轭变量对的虚实转换一样，b可以通过极值g转换为a的复数部分。对于A点，有a+i(g-b)。对于其余处，有b+i(g-a)。这个复数形式就是我们看到的几率幅。粒子在任意一点的几率幅都包含整个同时性空间的信息，所以几率幅可以说是这个同时性空间上的全息几率。对于双缝干涉，因为粒子的几率幅同时包含双缝的信息，不被观察时粒子就在逻辑上同时穿过双缝。这和逻辑悖论的存在方式一样。因为这是单一粒子的行为，所以只有大量粒子的统计结果，才能看到和波类似的干涉现象。
粒子在这个同时性的空间的几率之和，设为m。
m=a+b （15）
m也会对应一个虚的几率之和，设为n。
n=g-a+g-b
n=2g-(a+b) （16）
把（15） m=a+b 代入（16）得到
n=2g-m （17）
把m换到左边，有
m+n=2g （18）
如果我们求出这个g， 它能定量告诉我们单个粒子的双缝实验如何从微观过渡到宏观。可以相信，随着粒子的能量变大，g会趋近于1。就变成宏观的概率。
非实在的变量都可以通过实在的变量和极值表示出来，所以可以隐含在理论中。对于实在的一对相关变量，可以通过极值转换为各自的虚变量。在几何意义上都是正交，可以表示为某种类欧几何。差别仅在于一对相关变量是除法关系：空间和时间，乘法关系：共轭变量对，还是加法关系：量子几率。

没有愿意讨论的？