埃拉托斯特尼筛法的抽屉理论

文/施承忠


自然数抽屉

自然数就是指1,2,3,...,n的正整数。
因为n^2=【2∑n】-n】n=1,2,3,...,n】
我们把【2∑n】-n】个自然数分放在(2n)-1个抽屉中，使自然数更具有规律化。即：
当n=10时
【1】1】[(1)]
【1】2】[(2)]
【2】1】[(3)(5)]
【2】2】[(4)(6)]
【3】1】[(7)(11)(13)]
【3】2】[(9)(15)(21)]
【4】1】[(8)(10)(12)(14)]
【4】2】[(16)(18)(20)(22)]
【5】1】[(17)(19)(23)(29)(31)]
【5】2】[(25)(35)(55)(65)(85)]
【6】1】[(24)(26)(28)(30)(32)(34)]
【6】2】[(36)(38)(40)(42)(44)(46)]
【7】1】[(37)(41)(43)(47)(53)(59)(61)]
【7】2】[(49)(77)(91)(119)(133)(161)(203)]
【8】1】[(48)(50)(52)(54)(56)(58)(60)(62)]
【8】2】[(64)(66)(68)(70)(72)(74)(76)(78)]
【9】1】[(27)(33)(39)(45)(51)(57)(63)(69)(75)]
【9】2】[(81)(87)(93)(99)(105)(111)(117)(123)(129)]
【10】1】[(80)(82)(84)(86)(88)(90)(92)(94)(96)(98)]
当n=k时
k^2=【2∑k】-k】
当n=k+1时
(k^2)+k=k*k+1
(k*k+1)+k+1=(k+1)^2
所以当n=k+1时成立，当n=∞也成立。










埃拉托斯特尼筛法抽屉

在自然数抽屉中，我们把n^2个自然数分放在(2n)-1个抽屉中。
现在我们把这些自然数抽屉转化为埃拉托斯特尼筛法抽屉。因为每一个自然数除自然数一和素数以外都必然有一个不小于√n的素因子（其实自然数1就是素因子不小于1的一个正整数，而素素就是一个素因子不小于其本身的一个正整数。），所以每一个自然数都必然可以放到它一个特定的抽屉里。

一个素数分化成两个抽屉
【p】1】，【p】2】
其中【p】1】是素数抽屉；【p】2】是合数抽屉
一个合数的两个抽屉【g】1】，【g】2】都是两个合数抽屉

我们将【p】1】[（x1）（x2）（x3）...（xk）]左边的方括号用黑括号括起来。
即：【p】1】【（x1）（x2）（x3）...（xk）】
【p】2】[（x1）（x2）（x3）...（xk）]

现在我们将1放在【1】1】里【1】1】（1）
因为【1】2】是素数抽屉，我们将右边的括号再用括黑括号起来。
【1】2】【（2）】

因为2是素数，抽屉【2】1】必须放2个素数
3和5是与2连续的2个连续的素数，
所以【2】1】【（3）（5）】
抽屉【2】2】是合数抽屉，所以必须放2个合数，它的最小素因子是2
4和6是最小素因子是2的2个最小连续合数，
所以【2】2】[（4）（6）]

因为3是素数，抽屉【3】1】必须放3个素数
7,11,13是与5连续的3个连续素数，
所以【3】1】【（7）（11）（13）】
因为【3】2】是合数抽屉，所以必须放3个合数，它的最小素因子是3
9,15,21是最小素因子是3的3个最小连续合数，
所以【3】2】[（9）（15）（21）]

因为4是最小素因子是2的合数，抽屉【4】1】必须放4个最小素因子是2的合数
8,10,12,14是与6连续的4个最小素因子是2的合数，
所以【4】1】[(8)(10)(12)(14)]
16,18,20,22是与14连续的4个最小素因子是2的合数，
所以【4】2】[(16)(18)(20)(22)]

因为5是素数，抽屉【5】1】必须放5个素数
17，19，23，29，31是与13连续的5个连续素数，
所以【5】1】【（17）（19）（23）（29）（31）】
因为【5】2】是合数抽屉，所以必须放5个合数，它的最小素因子是5
25，35，55，65，85是最小素因子是5的5个最小连续合数，
所以【5】2】[(25)(35)(55)(65)(85)]

因为6是最小素因子是2的合数，抽屉【6】1】必须放6个最小素因子是2的合数
24，26，28，30，32，34是与22连续的6个最小素因子是2的合数，
所以【6】1】[（24)(26)(28)(30)(32)(34)]
36，38，40，42，44，46是与34连续的6个最小素因子是2的合数，
所以【6】2】[（36)(38)(40)(42)(44)(46)]

因为7是素数，抽屉【7】1】必须放7个素数
37，41，43，47，53，59，61是与31连续的7个连续素数，
所以【7】1】【（37)(41)(43)(47)(53)(59)(61）】
因为【7】2】是合数抽屉，所以必须放7个合数，它的最小素因子是7
49，77，91，119，133，161，203是最小素因子是7的7个最小连续合数，
所以【7】2】[(49)(77)(91)(119)(133)(161)(203)]

即：
【1】[(1）]
【1】【(2)】
【2】【(3)(5)】
【2】[(4)(6)]
【3】【(7)(11)(13)】
【3】[(9)(15)(21)]
【4】[(8)(10)(12)(14)]
【4】[(16)(18)(20)(22)]
【5】【(17)(19)(23)(29)(31)】
【5】[(25)(35)(55)(65)(85)]
【6】[(24)(26)(28)(30)(32)(34)]
【6】[(36)(38)(40)(42)(44)(46)]
【7】【(37)(41)(43)(47)(53)(59)(61)】

现在我们将所有埃拉托斯特尼筛法抽屉中的每一个抽屉的自然数个数加起来的和等于
k^2=【2∑k】-k】，它与自然数抽屉中的和是一样的。由于它们的进阶不同所取的自然数就有一定变化
由于埃拉托斯特尼筛法抽屉中的每一个自然数同自然数抽屉中一样都是不重复的，所以只要加长
埃拉托斯特尼筛法抽屉一定会满足自然数抽屉中的每一个数；只要加长自然数抽屉一定会满足埃拉托斯特尼筛法抽屉中的每一个数

我们知道所有非素数的抽屉中不可能存在素数，所以我们要获得素数就可以忽略它们.所以我们只要求出素数抽屉中的自然数个数就可以了，我们得到
π(pk^2)≈1+∑pk(pk是素数)】1,k】,如果要将近似号改变成等号在左边加上差数m就可以了
即：π(pk^2+m)=1+【∑pk】1,k】

如果素数有限那么π(pk^2+m)=1+【∑pk】1,k】
m→∞，π(pk^2+m)=1+【∑pk】1,k】
我们知道所有的合数抽屉与素数抽屉是相互独立的，而且所有的素数都将成为素数抽屉；所有的合数都将成为合数抽屉
那么π(pk^2）中的素数一定大于π(pk）中的素数，m→∞，π(pk^2+m）中的素数一定大于π(pk^2）中的素数，所以素数有无限多个





孪生素数抽屉

孪生素数是素数中的一个分支，就是一个素数p,若p+2也是素数，这一对素数就称为孪生素数.
这样的素数可以从埃拉托斯特尼筛法抽屉中分离出来，也可以直接从素数中筛出来.
由于孪生素数q是一对素数，这里q是一对孪生素数中的较小的一个，所以需要两组素数。我们用T(x)来表示x中的孪生素数对数。
它们有关系式【T(2qk2)】(k=1,2,3,...k)】≈Σ1kqk（这里q是一对孪生素数中的较小的一个，q≠q+2)
【T(2qk2+m】(k=1,2,3,...k)】=Σ1kqk

这是我们从素数抽屉中筛出来的孪生素数抽屉
1【3】[1(3)2(5)3(11)]
2【5】[4(17)5(29)6(41)7(59)8(71)]
3【11】[9(101)10(107)11(137)12(149)13(179)14(191)15(197)16(227)17(239)18(269)19(281)]
4【17】[20(311)21(347)22(419)23(431)24(461)25(521)36(569)27(599)28(617)29(641)30(659)31(809)32(821)33(827)34(857)35(881)36(1019)]
5【29】[37(1031)38(1049)39(1061)40(1091)41(1151)42(1229)43(1277)44(1289)45(1301)46
(1319)47(1427)48(1451)49(1481)50(1487)51(1607)52(1619)53(1667)54(1697)55(1721)56(1787)
57(1871)58(187)59(1931)60(1949)61(1997)62(2027)63(2081)64(2087)65(2111)]
6【41】[66(2129)67(2141)68(2237)69(2267)70(2309)71(2339)72(2381)73(2549)74(2591)75(2657)76(2687)77(2711)78(2729)79(2789)80(2801)81(2969)82(2999)83(3119)84(3167)85(3251)86(3257)87(3299)88(3329)89(3359)90(3371)91(3389)92(3461)93(3467)94(3527)95(3539)96(3557)97(3581)98(3671)99(3767)100(3821)101(3851)102(3917)103(3929)104(4001)105(4019)106(4049)]
7【59】[107(4091)108(4127)109(4157)110(4217)111(4229)112(4241)113(4259)114(4271)115(4337)116(4421)117(4481)118(4517)119(4547)120(4637)121(4649)122(4721)123(4787)124(4799)125(4931)126(4967)127(5009)128(5021)129(5099)130(5231)131(5279)132(5417)133(5441)134(5477)135(5501)136(5519)137(5639)138(5651)139(5657)140(5741)141(5849)142(5867)143(5879)144(6089)145(6131)146(6197)147(6269)148(6299)149(6359)150(6449)151(6551)152(6569)153(6659)154(6689)155(6701)156(6761)157(6779)158(6791)159(6827)160(6869)161(6947)162(6959)163(7127)164(7211)165(7307)
【】
【】
【】

T(2qk^2+m)=【∑qk】1,k】

如果孪生素数只有有限多对那么T(2qk^2+m)=【∑qk】1,k】
m→∞，T(2qk^2+m)=【∑qk】1,k】
我们知道所有的孪生素数都将成为孪生素数抽屉，那么T(2qk^2）中的孪生素数对一定大于T(2qk）中的孪生素数对，所以孪生素数有无限多个.





哥德巴赫素数抽屉

哥德巴赫素数是指p是素数，则偶数2n-p也是素数的素数。与孪生素数一样，这样的素数可以从埃拉托斯特尼筛法抽屉中分离出来，也可以直接从素数中筛出来。它与孪生素数不同的是：孪生素数中的第k个孪生素数是不变的，比如q1=3.但是哥德巴赫素数就不同了.我们用Gk来表示第k个哥德巴赫素数，那么第一个哥德巴赫素数在偶数6中是3，而在偶数12中却是5.所以只有指明某一个偶数，才能知道第k个哥德巴赫素数是什么。所以哥德巴赫素数抽屉中只能放偶数而不能是具体的哥德巴赫素数。但是哥德巴赫素数的抽屉却必须是具体的素数而不能是偶数，那怎么办？我们可以这么说：哥德巴赫素数和孪生素数在筛法上是同阶的。我们完全可以用孪生素数的抽屉来做哥德巴赫素数的抽屉。
哥德巴赫素数抽屉还存在一个问题就是：存在k个哥德巴赫素数的偶数有很多，它不止一个；比如
偶数6,8,12都只有一个哥德巴赫素数，我们采取的办法是：在标识上我们只写入偶数12，其他6与8可以并入在这个抽屉中。我们把x表示为一个偶数，D(x)表示为不大于x的x中的哥德巴赫素数对，我们称12为D(x)=1的偶数极点，如果D(x)=m,我们把D(x)=m的最大偶数，称之为该偶数的极点。
哥德巴赫素数和孪生素数的另一个不同的一点就是：孪生素数是从两组不大于pk2的素数中筛出来的，所以它有一个关系式：T(2qk2)≈Σ1kqk.而哥德巴赫素数必须从两组不大于2pk2的素数中筛出来，其中又有1/2是重复的；所以它的关系式是：D(4qk2)≈Σ1kqk.

下面是我们用埃拉托斯特尼筛法筛出来的哥德巴赫偶数极点
1【3】[1(12)2(68)3(128)]
2【5】[4(152)5(188)6(332)7(398)8(368)]
3【11】[9(488)10(632)11(692)12(626)13(992)14(878)15(908)16(1112)17(998)18(1412)19(1202)]
4【17】[20(1448)21(1718)22(1532)23(1604)24(1682)25(2048)26(2252)27(2078)28(2672)29(2642)30(2456)31(2936)32(2504)33(2588)34(2978)35(3092)36(3032)]
5【29】[37(3218)38(3272)39(3296)40(3632)41(3548)42(3754)43(4022)44(4058)45(4412)46(4448)47(4174)48(4478)49(4472)50(4688)51(5078)52(5468)53(5288)54(5528)55(5948)56(5618)57(5378)58(5732)59(6068)60(6152)61(6368)62(6002)63(5996)64(6506)65(6326)]
6【41】[66(6632)67(7292)68(7508)69(6694)70(8042)71(7862)72(8048)73(7724)74(7598)75(8552)76(8378)77(9602)78(8522)79(8186)80(8572)81(8564)82(8332)83(8846)84(8972)85(9404)86(9866)87(9304)88(9488)89(9368)90(9766)91(9838)92(10544)93(10232)94(10358)95(10832)96(10772)97(10958)98(11672)99(11156)100(11456)101(12092)102(11252)103(11846)104(12368)105(12722)106(12326)]
【】
【】
【】

如果D(4qk^2+m)=Σ1kqk是哥德巴赫偶数的一个极一点，则D(4qk^2+m+2)≥Σ1kqk
m→∞D(4qk^2+m)>Σ1kqk
如果哥德巴赫偶数中的素数对只有有限多对.那么D(4qk^2+m)=【∑qk】1,k】
m→∞，D(4qk^2+m)=【∑qk】1,k】
我们知道所有的孪生素数都将成为孪生素数抽屉，那么D(4qk^2）中的孪生素数对一定大于D(2qk）中的孪生素数对，所以哥德巴赫偶数中的素数对有无限多对.




实例

素数无限多

我们有素数抽屉【1】【1(2)】
得到π(1^2+1)=1
m=1
如果素数只有1个
那么m→∞
π(1^2+m)=1

但是我们有素数抽屉【2】【2(3)3（5）】得到
1+2=3
得到π(2^2+1)=3
m=1
得到π(1^2+4)=3
m=4

如果素数只有3个
那么
m→∞
π(2^2+m)=3
但是我们有素数抽屉【5】【7(17)8(19)9(23)10(29)11(31)】得到
1+2+3+5=11
得到π(5^2+6)=11
m=6
得到π(2^2+27)=11
m=27

这样我们可以无穷尽地做下去，所以素数有无限多个






孪生素数无限多

我们有孪生素数抽屉【3】【1(3)2(5)3(11)】得到
T(2*3^2-5)=3
m=5
如果孪生素数只有3对
那么m→∞
T(2*3^2+m)=3

但是我们有孪生素数抽屉【3】【1(3)2(5)3(11)】得到
【11】【9(101)10(107)11(137)12(149)13(179)14(191)15(197)16(227)17(239)18(269)19(281)】得到
3+5+11=19
T(2*11^2+41)=19
m=41
得到T(2*3^2+265)=19
m=265

这样我们可以无穷尽地做下去，所以素数有无限多个






哥德巴赫素数无限多

我们有孪生素数抽屉【3】【1(3)2(5)3(11)】得到
【3】【1(12)2(68)3(128)】这里的极点偶数是128，D(128)=3
得到D(4*3^2+92)=3
m=92
如果哥德巴赫素数只有3对
那么m→∞
D(4*3^2+m)=3

但是我们有孪生素数抽屉【3】【1(3)2(5)3(11)】得到
【11】【9(488)10(632)11(692)12(626)13(992)14(878)15(908)16(1112)17(998)18(1412)19(1202)】
得到
3+5+11=19
这里的极点偶数是1412，D(1412)=18
D(4*11^2+928)=18
m=928
D(4*3^2+1376)=18
m=1376

这样我们可以无穷尽地做下去，所以哥德巴赫素数有无限多个

基点


在自然数抽屉中，我们把n^2个自然数分放在(2n)-1个抽屉中。
现在我们把这(2n)-1个抽屉作一个埃拉托斯特尼筛法标记，成为埃拉托斯特尼筛法抽屉。
因为n^2个自然数的全部因子等于n,n中的全部素因子p1,p2,p3,...,pk不大于n,所以所有的埃拉托斯特尼筛法抽屉都在这些抽屉中.而n的埃拉托斯特尼的筛法标记：当n是pk时(k=1,2,3,...,t)n就是pk的抽屉，但pk有两个抽屉【pk】1,【pk】2.在【pk】1中只存放pk个素数，在【pk】2中只存放最小素因子是pk的pk个合数，其中素数必须是连续的，合数也必须是连续的。当n是合数时




根据哥德巴赫筛法公式D(4qk^2)≈Σ1kqk
q1=3
D(4*3^2)≈3
D(36+m)=1
得
D(36-32)=1
D(36-30)=1
D(36-28)=1
D(36-24)=1

D(36+m)=2
得
D(36-26)=2
D(36-22)=2
D(36-20)=2
D(36-18)=2
D(36-16)=2
D(36-8)=2
D(36-4)=2
D(36+2)=2
D(36+32)=2

D(36+m)=3
得
D(36-14)=3
D(36-12)=3
D(36-10)=3
D(36-6)=3
D(36+4)=3
D(36+8)=3
D(36+16)=3
D(36+20)=3
D(36+26)=3
D(36+62)=3
D(36+92)=3