@历遍巫山沧海 2019-08-09 14:23:27
好贴
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谢谢！

@任何人都积极 2019-08-09 14:43:48
楼主高见
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谢谢！

自然数抽屉埃拉托斯特尼筛法抽屉素数抽屉

文/施承忠


自然数抽屉

我们将所有自然数作为抽屉名，每一个抽屉名做成两个抽屉，设【n】1【n】2.在【n】1【n】2中按次序放入n个自然数.
我们有
【1】1=【[1]】
【1】2=【[2]】
【2】1=【[3][4]】
【2】2=【[5][6]】
【3】1=【[7][8][9]】
【3】2=【[10][11][12]】
【】
【】
【】
【n】1=【[x][x][x][][][][n^2]】



埃拉托斯特尼筛法抽屉


素数抽屉

运行埃拉托斯特尼筛法.
在1至n中筛出k个素数p1,p2,p3,....pk.
以这些素数作为抽屉名，按次序放入素数.其中【1】2放入素数2，即：【1】2=【[2]】.
我们有
【1】2=【[2]】
【2】1=【[3][5]】
【3】1=【[7][11][13]】
【5】1=【[17][19][23][29][31]】
【】
【】
【】
【pk】1=【[x][x][x][][][][x]】


合数抽屉

运行埃拉托斯特尼筛法.
筛出最小素因子2的合数[4][6][8][][][][x],做出2的合数抽屉，它的抽屉名除
【2】2=【[4][6]】外都是抽屉中的合数，也依此排序.
我们有
【2】2=【[4][6]】
【4】1=【[8][10][12][14]】
【4】2=【[16][18][20][22]】
【】
【】
【】
【2n】1=【[x][x][x][][][][x]】
【2n】2=【[x][x][x][][][][x]】

在埃拉托斯特尼筛法抽屉中我们使用与自然数筛法抽屉中同样的抽屉名和同样多的抽屉数也就是同样多的自然数.有所区别的是：在埃拉托斯特尼筛法抽屉中是使用埃拉托斯特尼筛法的规则去存放自然数，在【n】的抽屉中只存放n的最小素因子p的自然数.当n是素数时这些合数只在【n】2时发生.


筛出最小素因子3的合数[9][15][21][][][][x],做出3的合数抽屉.
它的抽屉名除【3】2=【[9][15][21]】外都是抽屉中的合数，也依此排序.
我们有
【3】2=【[9][15][21]】
【9】1=【[27][33][39][45][51][57][63][69][75]】
【9】2=【[81][87][93][99][105][111][117][123][129]】
【】
【】
【】
【3m】1=【[x][x][x][][][][x]】
【3m】2=【[x][x][x][][][][x]】


筛出最小素因子5的合数[25][75][55][][][][x],做出5的合数抽屉.
它的抽屉名除【5】2=【[25][35][55][65][85]】都是抽屉中的合数，也依此排序.
我们有
【5】2=【[25][35][55][65][85]】
【25】1=【[95][115][125][145][155][175][185][205][215][235][245][265][275][295][305][325][335][355][365][385][395][415][425][445][455]】
【25】2=【[475][485][505][515][535][545][565][575][595][605][625][635][655][665][685][695][715][725][745][755][775][785][805][815][835]】
【】
【】
【】
【5t】1=【[x][x][x][][][][x]】
【5t】2=【[x][x][x][][][][x]】

【】

【】

【】

筛出最小素因子pk的合数[pkm1][pkm2][pkm3][][][][pkmr],做出pk的合数抽屉.
它的抽屉名除【pk】2=【[x][x][x][][][][x]】都是抽屉中的合数，也依此排序.
我们有
【pk】2=【[x][x][x][][][][x]】
【pkh1】1=【[x][x][x][][][][x]】
【pkh1】2=【[x][x][x][][][][x]】
【】
【】
【】
【pkhr】1=【[x][x][x][][][][x]】
【pkhr】2=【[x][x][x][][][][x]】

定理
设π（x)是不大于x的素数个数我们有
π（pk^2)≈1+∑1kpk

埃拉托斯特尼筛法合数抽屉素数抽屉【1】1=【[1]】抽屉合并就是有与自然数相同的抽屉数和相同个数的自然数存放.
设自然数抽屉为【n】,埃拉托斯特尼筛法合数抽屉素数抽屉【1】1抽屉合并为【s】.
当【n】与【s】的抽屉相等自然数存放个数相等时，我们称【n】=【s】.
因为【s】由素数和非素数两部分构成，我们把它的素数部分设为【p】.
虽然当【n】=【s】时它们的抽屉个数和自然数存放个数相等，但由于它们之间的排序方式不同存放方法不同，任意一个抽屉【k】,【n】与【s】之间存放的的自然数就不尽相同，所以【p】中的素数不一定全是【n】中的素数.
因为【s】包含了自然数全体，所以前面在抽屉中遗漏的自然数一定会在后面的抽屉中存放；前面存放在抽屉中的自然数一定不会在后面的抽屉中重复.最终达到自然数全体.
设【p】中的素数至少是【n】+o【n】中的素数，因为不管【n】与【s】有多大，【n】=【s】始终成立，所以当【n】与【s】相当大时o【n】是相当小的，几乎可以忽略.
另一方面：若【n】中的素数不全是【p】中的素数，那么【n】中的自然数至少是
【p】-o【p】的素数.相同的理由o【p】也是可以忽略的.
所以【p】中的素数几乎就是【n】中的素数.也就是说：【n】中的素数个数几乎就是
【p】中的素数个数，即：π（pk^2)≈1+∑1kpk.
证毕



以自然数49为例
自然数抽屉

【n】
【1】1=【[1]】
【1】2=【[2]】
【2】1=【[3][4]】
【2】2=【[5][6]】
【3】1=【[7][8][9]】
【3】2=【[10][11][12]】
【4】1=【[13][14][15][16]】
【4】2=【[17][18][19][20]】
【5】1=【[21][22][23][24][25]】
【5】2=【[26][27][28][29][30]】
【6】1=【[31][32][33][34][35][36]】
【6】2=【[37][38][39][40][41][42]】
【7】1=【[43][44][45][46][47][48][49]】

o【n】
【7】2=【[50][51][52][53][54][55][56]】
【8】1=【[57][58][59][60][61][62][63][64]】


【n】+o【n】

【1】1=【[1]】
【1】2=【[2]】
【2】1=【[3][4]】
【2】2=【[5][6]】
【3】1=【[7][8][9]】
【3】2=【[10][11][12]】
【4】1=【[13][14][15][16]】
【4】2=【[17][18][19][20]】
【5】1=【[21][22][23][24][25]】
【5】2=【[26][27][28][29][30]】
【6】1=【[31][32][33][34][35][36]】
【6】2=【[37][38][39][40][41][42]】
【7】1=【[43][44][45][46][47][48][49]】
【7】2=【[50][51][52][53][54][55][56]】
【8】1=【[57][58][59][60][61][62][63][64]】


素数抽屉

【1】2=【[2]】
【2】1=【[3][5]】
【3】1=【[7][11][13]】
【5】1=【[17][19][23][29][31]】
【7】1=【[37][41][43][47][53][59][61]】

这时【n】+o【n】中最大素数是61，【p】中最大素数是61.


另
素数抽屉

【p】
【1】2=【[2]】
【2】1=【[3][5]】
【3】1=【[7][11][13]】
【5】1=【[17][19][23][29][31]】
【7】1=【[37][41][43][47][53][59][61]】

o【p】
【7】1=【[37][41][43][47][53][59][61]】


【p】-o【p】

【1】2=【[2]】
【2】1=【[3][5]】
【3】1=【[7][11][13]】
【5】1=【[17][19][23][29][31]】


自然数抽屉

【n】
【1】1=【[1]】
【1】2=【[2]】
【2】1=【[3][4]】
【2】2=【[5][6]】
【3】1=【[7][8][9]】
【3】2=【[10][11][12]】
【4】1=【[13][14][15][16]】
【4】2=【[17][18][19][20]】
【5】1=【[21][22][23][24][25]】
【5】2=【[26][27][28][29][30]】
【6】1=【[31][32][33][34][35][36]】
【6】2=【[37][38][39][40][41][42]】
【7】1=【[43][44][45][46][47][48][49]】

这时【p】-o【p】中最大素数是31，【n】中最大素数是47.

【s】
【1】1=【[1]】
【1】2=【[2]】
【2】1=【[3][5]】
【2】2=【[4][6]】
【3】1=【[7][11][13]】
【3】2=【[9][15][21]】
【4】1=【[8][10][12][14]】
【4】2=【[16][18][20][22]】
【5】1=【[17][19][23][29][31]】
【5】2=【[25][35][55][65][85]】
【6】1=【[24][26][28][30][32][34]】
【6】2=【[36][38][40][42][44][46]】
【7】1=【[37][41][43][47][53][59][61]】

这时【n】中最大素数是47而【p】中最大素数是61
【n】+o【n】中最大素数是61，而o【n】比起【n】已经相当小了






【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】






合数抽屉

【2】2=【[4][6]】
【3】2=【[9][15][21]】
【4】1=【[8][10][12][14]】
【4】2=【[16][18][20][22]】
【5】2=【[25][35][55][65][85]】
【6】1=【[24][26][28][30][32][34]】
【6】2=【[36][38][40][42][44][46]】
【7】2=【[49][77][91][119][133][161][203]】
【8】1=【[48][50][52][54][56][58][60][62]】
【8】2=【[64][66][68][70][72][74][76][78]】
【9】1=【[27][33][39][45][51][57][63][69][75]】
【9】2=【[81][87][93][99][105][111][117][123][129]】
【10】1=【[80][82][84][86][88][90][92][94][96][98]】


【p】

【1】2=【[2]】
【2】1=【[3][5]】
【3】1=【[7][11][13]】
【5】1=【[17][19][23][29][31]】
【7】1=【[37][41][43][47][53][59][61]】


【s】

【1】1=【[1]】
【1】2=【[2]】
【2】1=【[3][5]】
【2】2=【[4][6]】
【3】1=【[7][11][13]】
【3】2=【[9][15][21]】
【4】1=【[8][10][12][14]】
【4】2=【[16][18][20][22]】
【5】1=【[17][19][23][29][31]】
【5】2=【[25][35][55][65][85]】
【6】1=【[24][26][28][30][32][34]】
【6】2=【[36][38][40][42][44][46]】
【7】1=【[37][41][43][47][53][59][61]】
【7】2=【[49][77][91][119][133][161][203]】
【8】1=【[48][50][52][54][56][58][60][62]】
【8】2=【[64][66][68][70][72][74][76][78]】
【9】1=【[27][33][39][45][51][57][63][69][75]】
【9】2=【[81][87][93][99][105][111][117][123][129]】
【10】1=【[80][82][84][86][88][90][92][94][96][98]】






因为k2=(2∑1kk)-k,这样一来任意一个正整数k,都代表k个自然数。不大于k2的自然数中的素因子不会大于k,所以这里包括了所有埃拉托斯特尼筛法抽屉。


对自然数抽屉的定义

我们定义[n]1,[n]2为自然数的两个抽屉，每一个抽屉中放n个自然数。[n]1的抽屉中最后
一个自然数是n^2,[n]2的抽屉中最后一个自然数是n*n+1,它们必须是连续的，即在[n]1中
(n-1*n)+1，(n-1*n)+2，(n-1*n)+3,...,n^2.在[n]2中为(n^2)+1,(n^2)+2,(n^2)+3,...,
n*n+1.
这样就有：
[1]1=1
[1]2=2
[2]1=3,4
[2]2=5,6
[3]1=7,8,9
[3]2=10,11,12
...
[n]1=(n-1*n)+1,(n-1*n)+2,(n-1*n)+3,...,n^2
共n^2个自然数.



埃拉托斯特尼筛法抽屉的定义

我们定义【n】1【n】2为埃拉托斯特尼筛法抽屉，每一个抽屉中放n个自然数。
【n】1中如果n是素数pk则放入比【pk-1】1更大的pk个素数.
【n】2中如果n是素数pk则放入最小素因子为pk的pk个连续合数.
这样就有：
【1】1=1
【1】2=2
【2】1=3,5
【2】2=4,6
【3】1=7,11,13
【3】2=9,15,21
...
【n=pk】1=小于【n=pk-1】的pk个连续素数.
共n^2个自然数.
在【n】1【n】2的这许多抽屉中有一部分的自然数是连续的，但是也有一部分自然数是不连续的.




定理一：
证明在【n】1【n】2中的连续自然数是不断增长的
证：
因为不大于k2的自然数中的素因子不会大于k,而这些素因子的在【n】1【n】2的埃拉托斯特尼筛法抽屉中.
所以当n不断增大时，这些连续自然数就不断增大.
证毕.





定理二：
在【n】1【n】2的这许多抽屉中至少存在pk<n的1+∑1kpk个素数.
证：
在定理一中我们已经证明了在【n】1【n】2中的连续自然数是不断增长的，

埃拉托斯特尼筛法抽屉与素数的关系

文/施承忠

埃拉托斯特尼筛法就是将不大于某一个自然数x的数中将每一个自然数用不大于√x的自然数除尽的数筛去，当然将自然数一也筛去。
那么我们是否可以做出一套符合这种筛法的抽屉，将所有自然数都放入这些抽屉中。这是可以的。我们从x的平方着手；因为k2=(2∑1kk)-k,这样一来任意一个正整数k,都代表k个自然数。不大于k2的自然数中的素因子不会大于k,所以这里包括了所有埃拉托斯特尼筛法抽屉。



（一）埃拉托斯特尼筛法抽屉


【1】(1）
【1】(2)
【2】【(3)(5)】
【2】(4)(6)
【3】【(7)(11)(13)】
【3】(9)(15)(21)
【4】(8)(10)(12)(14)
【4】(16)(18)(20)(22)
【5】【(13)(17)(19)(23)(29)】
【5】(25)(35)(55)(65)(85)
【6】(24)(26)(28)(30)(32)(34)
【6】(36)(38)(40)(42)(44)(46)
【7】【(31)(37)(41)(43)(47)(53)(59)】
【7】(49)(77)(91)(119)(133)(161)(203)
【8】(48)(50)(52)(54)(56)(58)(60)(62)
【8】(64)(66)(68)(70)(72)(74)(76)(78)
【9】(27)(33)(39)(45)(51)(57)(63)(69)(75)
【9】(81)(87)(93)(99)(105)(111)(117)(123)(129)
【10】(80)(82)(84)(86)(88)(90)(92)(94)(96)(98)
【10】(100)(102)(104)(106)(108)(110)(112)(114)(116)(118)
【】
【】
【】

从这些抽屉中我们可以知道，只要抽屉做得足够大和足够多，它可以包括所有自然数。




(二）素数抽屉


我们将埃拉托斯特尼筛法抽屉中的全部素数抽屉整理出来，就成为素数抽屉的全部。用
π(x)表示不大于Pk2内的素数个数，它们有一个关系式：π(Pk2)≈1+Σ1kpk


0【1】[1(2)]
1【2】[2(3)3(5)]
2【3】[4(7)5(11)6(13)]
3【5】[7(17)8(19)9(23)10(29)11(31)]
4【7】[12(37)13(41)14(43)15(47)16(53)17(59)18(61)]
5【11】[19(67)20(71)21(73)22(79)23(83)24(89)25(97)26(101)27(103)28(107)29(109)]
6【13】[30(113)31(127)32(131)33(137)34(139)35(149)36(151)37(157)38(163)39(167)40(173)41(179)42(181)]
7【17】[43(191)44(193)45(197)46(199)47(211)48(223)49(227)50(229)51(233)52(239)53(241)54(251)55(257)56(263)57(269)58(271)59(277)]
8【19】[60(281)61(283)62(293)63(307)64(311)65(313)66(317)67(331)68(337)69(347)70(349)71(353)72(359)73(367)74(373)75(393)76(383)77(389)78(397)]
9【23】[79(401)80(409)81(419)82(421)83(431)84(433)85(439)86(443)87(449)88(457)89(461)90(463)91(467)92(479)93(487)94(491)95(499)96(503)97(509)98(521)99(523)100(541)101(547)]
10【29】[102(557)103(563)104(569)105(571)106(557)107(587)108(593)109(599)110(601)111(607)112(613)113(617)114(619)115(631)116(641)117(643)118(647)119(653)120(659)121(661)122(673)123(677)124(683)125(691)126(701)127(709)128(719)129(727)130(733)]
【】
【】
【】


从这些抽屉中我们发现，只要抽屉做得足够大和足够多，它可以包括所有素数，一个也不会遗漏。




（三）孪生素数抽屉


孪生素数是指素数p,p+2也是素数的素数，我们用q表示这样的素数。
这样的素数可以从埃拉托斯特尼筛法抽屉中分离出来，也可以直接从素数抽屉中分离出来。
由于孪生素数是先从不大于pk的素数中筛出q,再从不大于pk的素数中筛出q+2的素数，所以需要两组素数。我们用T(x)来表示x中的孪生素数对数。
所以它们有关系式T(2qk2)≈Σ1kqk

1【3】[1(3)2(5)3(11)]
2【5】[4(17)5(29)6(41)7(59)8(71)]
3【11】[9(101)10(107)11(137)12(149)13(179)14(191)15(197)16(227)17(239)18(269)19(281)]
4【17】[20(311)21(347)22(419)23(431)24(461)25(521)36(569)27(599)28(617)29(641)30(659)31(809)32(821)33(827)34(857)35(881)36(1019)]
5【29】[37(1031)38(1049)39(1061)40(1091)41(1151)42(1229)43(1277)44(1289)45(1301)46
(1319)47(1427)48(1451)49(1481)50(1487)51(1607)52(1619)53(1667)54(1697)55(1721)56(1787)
57(1871)58(187)59(1931)60(1949)61(1997)62(2027)63(2081)64(2087)65(2111)]
6【41】[66(2129)67(2141)68(2237)69(2267)70(2309)71(2339)72(2381)73(2549)74(2591)75(2657)76(2687)77(2711)78(2729)79(2789)80(2801)81(2969)82(2999)83(3119)84(3167)85(3251)86(3257)87(3299)88(3329)89(3359)90(3371)91(3389)92(3461)93(3467)94(3527)95(3539)96(3557)97(3581)98(3671)99(3767)100(3821)101(3851)102(3917)103(3929)104(4001)105(4019)106(4049)]
7【59】[107(4091)108(4127)109(4157)110(4217)111(4229)112(4241)113(4259)114(4271)115(4337)116(4421)117(4481)118(4517)119(4547)120(4637)121(4649)122(4721)123(4787)124(4799)125(4931)126(4967)127(5009)128(5021)129(5099)130(5231)131(5279)132(5417)133(5441)134(5477)135(5501)136(5519)137(5639)138(5651)139(5657)140(5741)141(5849)142(5867)143(5879)144(6089)145(6131)146(6197)147(6269)148(6299)149(6359)150(6449)151(6551)152(6569)153(6659)154(6689)155(6701)156(6761)157(6779)158(6791)159(6827)160(6869)161(6947)162(6959)163(7127)164(7211)165(7307)
【】
【】
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从这些抽屉中我们发现，只要抽屉做得足够大和足够多，它可以包括所有孪生素数，一个也不会遗漏。




（四）哥德巴赫素数抽屉


哥德巴赫素数是指偶数2n-p是素数的素数。与孪生素数一样，这样的素数可以从埃拉托斯特尼筛法抽屉中分离出来，也可以直接从素数抽屉中分离筛。它与孪生素数不同的是；孪生素数中的第k个孪生素数是不变的，比如q1=3.但是哥德巴赫素数就不同了.我们用Gk来表示第k个哥德巴赫素数，那么第一个哥德巴赫素数在偶数6中是3，而在偶数12中却是5.所以只有指明某一个偶数，才能知道第k个哥德巴赫素数是什么。所以哥德巴赫素数抽屉中只能放偶数而不能是具体的哥德巴赫素数。但是哥德巴赫素数的抽屉却必须是具体的素数而不能是偶数，那怎么办？我们可以这么说：哥德巴赫素数和孪生素数在筛法上是同阶的。我们完全可以用孪生素数的抽屉来做哥德巴赫素数的抽屉。
哥德巴赫素数抽屉还存在一个问题就是：存在k个哥德巴赫素数的偶数有很多，它不止一个；比如
偶数6,8,12都只有一个哥德巴赫素数，我们采取的办法是：在标识上我们只写入偶数12，其他6与8可以并入在这个抽屉中。我们把x表示为一个偶数，D(x)表示为不大于x的x中的哥德巴赫素数对，我们称12为D(x)=1的偶数极点，如果D(x)=m,我们把D(x)=m的最大偶数，称之为该偶数的极点。
哥德巴赫素数和孪生素数的另一个不同的一点就是：孪生素数是从两组不大于pk2的素数中筛出来的，所以它有一个关系式：T(2qk2)≈Σ1kqk.而哥德巴赫素数必须从两组不大于2pk2的素数中筛出来，其中又有1/2是重复的；所以它的关系式是：D(4qk2)≈Σ1kqk.


1【3】[1(12)2(68)3(128)]
2【5】[4(152)5(188)6(332)7(398)8(368)]
3【11】[9(488)10(632)11(692)12(626)13(992)14(878)15(908)16(1112)17(998)18(1412)19(1202)]
4【17】[20(1448)21(1718)22(1532)23(1604)24(1682)25(2048)26(2252)27(2078)28(2672)29(2642)30(2456)31(2936)32(2504)33(2588)34(2978)35(3092)36(3032)]
5【29】[37(3218)38(3272)39(3296)40(3632)41(3548)42(3754)43(4022)44(4058)45(4412)46(4448)47(4174)48(4478)49(4472)50(4688)51(5078)52(5468)53(5288)54(5528)55(5948)56(5618)57(5378)58(5732)59(6068)60(6152)61(6368)62(6002)63(5996)64(6506)65(6326)]
6【41】[66(6632)67(7292)68(7508)69(6694)70(8042)71(7862)72(8048)73(7724)74(7598)75(8552)76(8378)77(9602)78(8522)79(8186)80(8572)81(8564)82(8332)83(8846)84(8972)85(9404)86(9866)87(9304)88(9488)89(9368)90(9766)91(9838)92(10544)93(10232)94(10358)95(10832)96(10772)97(10958)98(11672)99(11156)100(11456)101(12092)102(11252)103(11846)104(12368)105(12722)106(12326)]
【】
【】
【】


从这些抽屉中我们发现，只要抽屉做得足够大和足够多，它可以包括所有哥德巴赫素数，一个也不会遗漏。

哥德巴赫素数抽屉

文/施承忠


哥德巴赫素数是指偶数2n-p是素数的素数。与孪生素数一样，这样的素数可以从埃拉托斯特尼筛法抽屉中分离出来，也可以直接从素数中筛出来。它与孪生素数不同的是：孪生素数中的
第k个孪生素数是不变的，比如q1=3.但是哥德巴赫素数就不同了.我们用Gk来表示第k个哥德巴赫素数，那么第一个哥德巴赫素数在偶数6中是3，而在偶数12中却是5.所以只有指明某一个偶数，才能知道第k个哥德巴赫素数是什么。所以哥德巴赫素数抽屉中只能放偶数而不能是具体的哥德巴赫素数。但是哥德巴赫素数的抽屉却必须是具体的素数而不能是偶数，那怎么办？我们可以这么说：哥德巴赫素数和孪生素数在筛法上是同阶的。我们完全可以用孪生素数的抽屉来做哥德巴赫素数的抽屉。
哥德巴赫素数抽屉还存在一个问题就是：存在k个哥德巴赫素数的偶数有很多，它不止一个；比如
偶数6,8,12都只有一个哥德巴赫素数，我们采取的办法是：在标识上我们只写入偶数12，其他6与8可以并入在这个抽屉中。我们把x表示为一个偶数，D(x)表示为不大于x的x中的哥德巴赫素数对，我们称12为D(x)=1的偶数极点，如果D(x)=m,我们把D(x)=m的最大偶数，称之为该偶数的极点。
哥德巴赫素数和孪生素数的另一个不同的一点就是：孪生素数是从两组不大于pk2的素数中筛出来的，所以它有一个关系式：T(2qk2)≈Σ1kqk.而哥德巴赫素数必须从两组不大于2pk2的素数中筛出来，其中又有1/2是重复的；所以它的关系式是：D(4qk2)≈Σ1kqk.


1【3】[1(12)2(68)3(128)]
2【5】[4(152)5(188)6(332)7(398)8(368)]
3【11】[9(488)10(632)11(692)12(626)13(992)14(878)15(908)16(1112)17(998)18(1412)19(1202)]
4【17】[20(1448)21(1718)22(1532)23(1604)24(1682)25(2048)26(2252)27(2078)28(2672)29(2642)30(2456)31(2936)32(2504)33(2588)34(2978)35(3092)36(3032)]
5【29】[37(3218)38(3272)39(3296)40(3632)41(3548)42(3754)43(4022)44(4058)45(4412)46(4448)47(4174)48(4478)49(4472)50(4688)51(5078)52(5468)53(5288)54(5528)55(5948)56(5618)57(5378)58(5732)59(6068)60(6152)61(6368)62(6002)63(5996)64(6506)65(6326)]
6【41】[66(6632)67(7292)68(7508)69(6694)70(8042)71(7862)72(8048)73(7724)74(7598)75(8552)76(8378)77(9602)78(8522)79(8186)80(8572)81(8564)82(8332)83(8846)84(8972)85(9404)86(9866)87(9304)88(9488)89(9368)90(9766)91(9838)92(10544)93(10232)94(10358)95(10832)96(10772)97(10958)98(11672)99(11156)100(11456)101(12092)102(11252)103(11846)104(12368)105(12722)106(12326)]
【】
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哥德巴赫素数定理

文/施承忠


我们从《哥德巴赫素数抽屉》中得到一个关系式D(4qk2)≈Σ1kqk.但是这个关系式只适用于4qk2这个点,对于其他的数就无能为力，我们是不是可以从这个关系式中来导出一个对于所有自然数都适用的数学公式呢？我们利用自然对数这个与筛法有着密切关系的函数得到：
(ckx/(lnx)2)*∏[p∣x]p-1/p-2≈D(x),其中ck=(ln4qk2)2/(4qk2/∑1kqk).4qk2≤x≤4qk+12-2.
虽然这种近似式当x趋向无穷大时，与D(x)相当接近，但是我们还是需要有一个上下界的估计。事实上我们可以这样来计算：D(x)=(ckx/(lnx)2-hkx/(lnx)3)*∏[p∣x]p-1/p-2,因为这个式子，当x大于某一个值时是永远不为零的。经过计算，hk在x=2672时这里有一个极值7.0745784741,7.0745784741*(167-1/167-2)=7.1174547076,我们取较大的数7.2得到:
(ckx/(lnx)2-7.2x/(lnx)3)*∏[p∣x]p-1/p-2≤D(x)≤(ckx/lnx+7.2x/(lnx)3)
*∏[p∣x]p-1/p-2.
事实上我们对D(4qk2)≈Σ1kqk还可以这样来估计：因为D(4qk2)≈Σ1kqk中一定存在小于k的t使得D(4qk2)≥Σ1tqt.qk2≥qt3.
当然还可以用(ax/(lnx)2)*∏[p∣x]p-1/p-2≤D(x)≤(bx/(lnx)2)*∏[p∣x]p-1/p-2来描
述。
从D(4qk2)≈Σ1kqk出发，用Gk表示哥德巴赫素数，我们将qk变换成Gk，因为Gk由一个偶数来决定，设偶数x=G11+G21,G12+G22,G13+G23,...,G1k+G2k,我们有关系式：D(x2)≈Σ1kG1k.当G1k=qk,x=2qk,就有x2=4qk2.这就证明我们当初用qk做抽屉并得到关系式D(4qk2)≈Σ1kqk是正确的。

关于埃拉托斯特尼筛法抽屉的几个定理

文/施承忠



（一）素数定理的改进


在《素数抽屉》中我们得到了关系式π(Pk2)≈1+Σ1kpk，但是这个关系式只是适用于Pk2这一点，对于其他的数就无能为力，我们是不是可以从这个关系式中来导出一个对于所有自然数都适用的数学公式呢？我们利用自然对数这个与筛法有着密切关系的函数得到：
ckx/lnx≈π(x),其中ck=lnPk2/(Pk2/1+∑1kpk).Pk2≤x≤Pk+12-2.
虽然这种近似式当x趋向无穷大时，与π(x)相当接近，但是我们还是需要有一个上下界的估计。事实上我们可以这样来计算：π(x)=ckx/lnx-hkx/(lnx)2,因为这个式子，当x大于某一个值时是永远不为零的。经过计算，hk在x=96这里有一个极值1.3170939047,我们取较大的数1.32得到ckx/lnx-1.32x/(lnx)2≤π(x)≤ckx/lnx+1.32x/(lnx)2.
事实上我们对π(Pk2)≈1+Σ1kpk还可以这样来估计：因为π(Pk2)≈1+Σ1kpk中一定存在小于k的t使得π(Pk2)>1+Σ1tpt.Pk2≥Pt3.
当然还可以用ax/lnx≤π(x)≤bx/lnx来描述。




（二）孪生素数定理


我们从《孪生素数抽屉》中得到一个关系式T(2qk2)≈Σ1kqk.但是这个关系式只适用于2qk2这个点,对于其他的数就无能为力，我们是不是可以从这个关系式中来导出一个对于所有自然数都适用的数学公式呢？我们利用自然对数这个与筛法有着密切关系的函数得到：
ckx/(lnx)2≈T(x),其中ck=(ln2qk2)2/(2qk2/∑1kqk).2qk2≤x≤2qk+12-2.
虽然这种近似式当x趋向无穷大时，与T(x)相当接近，但是我们还是需要有一个上下界的估计。事实上我们可以这样来计算：T(x)=ckx/(lnx)2-hkx/(lnx)3,因为这个式子，当x大于某一个值时是永远不为零的。经过计算，hk在x=1606这里有一个极值6.0725448056,我们取较大的数6.1得到ckx/(lnx)2-6.1x/(lnx)3≤T(x)≤ckx/lnx+6.1x/(lnx)2.
事实上我们对T(2qk2)≈Σ1kqk还可以这样来估计：因为T(2qk2)≈Σ1kqk中一定存在小于k的t使得T(2qk2)>Σ1tqt.qk2≥qt3.
当然还可以用ax/(lnx)2≤T(x)≤bx/(lnx)2来描述。




（三）哥德巴赫素数定理


我们从《哥德巴赫素数抽屉》中得到一个关系式D(4qk2)≈Σ1kqk.但是这个关系式只适用于4qk2这个点,对于其他的数就无能为力，我们是不是可以从这个关系式中来导出一个对于所有自然数都适用的数学公式呢？我们利用自然对数这个与筛法有着密切关系的函数得到：
(ckx/(lnx)2)*∏[p∣x]p-1/p-2≈D(x),其中ck=(ln4qk2)2/(4qk2/∑1kqk).4qk2≤x≤4qk+12-2.
虽然这种近似式当x趋向无穷大时，与D(x)相当接近，但是我们还是需要有一个上下界的估计。事实上我们可以这样来计算：D(x)=(ckx/(lnx)2-hkx/(lnx)3)*∏[p∣x]p-1/p-2,因为这个式子，当x大于某一个值时是永远不为零的。经过计算，hk在x=2672时这里有一个极值7.0745784741,7.0745784741*(167-1/167-2)=7.1174547076,我们取较大的数7.2得到:
(ckx/(lnx)2-7.2x/(lnx)3)*∏[p∣x]p-1/p-2≤D(x)≤(ckx/lnx+7.2x/(lnx)3)
*∏[p∣x]p-1/p-2.
事实上我们对D(4qk2)≈Σ1kqk还可以这样来估计：因为D(4qk2)≈Σ1kqk中一定存在小于k的t使得D(4qk2)≥Σ1tqt.qk2≥qt3.
当然还可以用(ax/(lnx)2)*∏[p∣x]p-1/p-2≤D(x)≤(bx/(lnx)2)*∏[p∣x]p-1/p-2来描
述。
从D(4qk2)≈Σ1kqk出发，用Gk表示哥德巴赫素数，我们将qk变换成Gk，因为Gk由一个偶数来决定，设偶数x=G11+G21,G12+G22,G13+G23,...,G1k+G2k,我们有关系式：D(x2)≈Σ1kG1k.当G1k=qk,x=2qk,就有x2=4qk2.这就证明我们当初用qk做抽屉并得到关系式D(4qk2)≈Σ1kqk是正确的。

关于埃拉托斯特尼筛法抽屉的几个定理

文/施承忠



（一）素数定理的改进


在《素数抽屉》中我们得到了关系式π(Pk2)≈1+Σ1kpk，但是这个关系式只是适用于Pk2这一点，对于其他的数就无能为力，我们是不是可以从这个关系式中来导出一个对于所有自然数都适用的数学公式呢？我们利用自然对数这个与筛法有着密切关系的函数得到：
ckx/lnx≈π(x),其中ck=lnPk2/(Pk2/1+∑1kpk).Pk2≤x≤Pk+12-2.
虽然这种近似式当x趋向无穷大时，与π(x)相当接近，但是我们还是需要有一个上下界的估计。事实上我们可以这样来计算：π(x)=ckx/lnx-hkx/(lnx)2,因为这个式子，当x大于某一个值时是永远不为零的。经过计算，hk在x=96这里有一个极值1.3170939047,我们取较大的数1.32得到ckx/lnx-1.32x/(lnx)2≤π(x)≤ckx/lnx+1.32x/(lnx)2.
事实上我们对π(Pk2)≈1+Σ1kpk还可以这样来估计：因为π(Pk2)≈1+Σ1kpk中一定存在小于k的t使得π(Pk2)>1+Σ1tpt.Pk2≥Pt3.
当然还可以用ax/lnx≤π(x)≤bx/lnx来描述。




（二）孪生素数定理


我们从《孪生素数抽屉》中得到一个关系式T(2qk2)≈Σ1kqk.但是这个关系式只适用于2qk2这个点,对于其他的数就无能为力，我们是不是可以从这个关系式中来导出一个对于所有自然数都适用的数学公式呢？我们利用自然对数这个与筛法有着密切关系的函数得到：
ckx/(lnx)2≈T(x),其中ck=(ln2qk2)2/(2qk2/∑1kqk).2qk2≤x≤2qk+12-2.
虽然这种近似式当x趋向无穷大时，与T(x)相当接近，但是我们还是需要有一个上下界的估计。事实上我们可以这样来计算：T(x)=ckx/(lnx)2-hkx/(lnx)3,因为这个式子，当x大于某一个值时是永远不为零的。经过计算，hk在x=1606这里有一个极值6.0725448056,我们取较大的数6.1得到ckx/(lnx)2-6.1x/(lnx)3≤T(x)≤ckx/lnx+6.1x/(lnx)2.
事实上我们对T(2qk2)≈Σ1kqk还可以这样来估计：因为T(2qk2)≈Σ1kqk中一定存在小于k的t使得T(2qk2)>Σ1tqt.qk2≥qt3.
当然还可以用ax/(lnx)2≤T(x)≤bx/(lnx)2来描述。




（三）哥德巴赫素数定理


我们从《哥德巴赫素数抽屉》中得到一个关系式D(4qk2)≈Σ1kqk.但是这个关系式只适用于4qk2这个点,对于其他的数就无能为力，我们是不是可以从这个关系式中来导出一个对于所有自然数都适用的数学公式呢？我们利用自然对数这个与筛法有着密切关系的函数得到：
(ckx/(lnx)2)*∏[p∣x]p-1/p-2≈D(x),其中ck=(ln4qk2)2/(4qk2/∑1kqk).4qk2≤x≤4qk+12-2.
虽然这种近似式当x趋向无穷大时，与D(x)相当接近，但是我们还是需要有一个上下界的估计。事实上我们可以这样来计算：D(x)=(ckx/(lnx)2-hkx/(lnx)3)*∏[p∣x]p-1/p-2,因为这个式子，当x大于某一个值时是永远不为零的。经过计算，hk在x=2672时这里有一个极值7.0745784741,7.0745784741*(167-1/167-2)=7.1174547076,我们取较大的数7.2得到:
(ckx/(lnx)2-7.2x/(lnx)3)*∏[p∣x]p-1/p-2≤D(x)≤(ckx/lnx+7.2x/(lnx)3)
*∏[p∣x]p-1/p-2.
事实上我们对D(4qk2)≈Σ1kqk还可以这样来估计：因为D(4qk2)≈Σ1kqk中一定存在小于k的t使得D(4qk2)≥Σ1tqt.qk2≥qt3.
当然还可以用(ax/(lnx)2)*∏[p∣x]p-1/p-2≤D(x)≤(bx/(lnx)2)*∏[p∣x]p-1/p-2来描
述。
从D(4qk2)≈Σ1kqk出发，用Gk表示哥德巴赫素数，我们将qk变换成Gk，因为Gk由一个偶数来决定，设偶数x=G11+G21,G12+G22,G13+G23,...,G1k+G2k,我们有关系式：D(x2)≈Σ1kG1k.当G1k=qk,x=2qk,就有x2=4qk2.这就证明我们当初用qk做抽屉并得到关系式D(4qk2)≈Σ1kqk是正确的。

孪生素数抽屉

文/施承忠


孪生素数是指素数p,p+2也是素数的素数，我们用q表示这样的素数。
这样的素数可以从埃拉托斯特尼筛法抽屉中分离出来，也可以直接从素数中筛出来。
由于孪生素数是先从不大于pk的素数中筛出q,再从不大于pk的素数中筛出q+2的素数，所以需要两组素数。我们用T(x)来表示x中的孪生素数对数。
所以它们有关系式T(2qk2)≈Σ1kqk

1【3】[1(3)2(5)3(11)]
2【5】[4(17)5(29)6(41)7(59)8(71)]
3【11】[9(101)10(107)11(137)12(149)13(179)14(191)15(197)16(227)17(239)18(269)19(281)]
4【17】[20(311)21(347)22(419)23(431)24(461)25(521)36(569)27(599)28(617)29(641)30(659)31(809)32(821)33(827)34(857)35(881)36(1019)]
5【29】[37(1031)38(1049)39(1061)40(1091)41(1151)42(1229)43(1277)44(1289)45(1301)46
(1319)47(1427)48(1451)49(1481)50(1487)51(1607)52(1619)53(1667)54(1697)55(1721)56(1787)
57(1871)58(187)59(1931)60(1949)61(1997)62(2027)63(2081)64(2087)65(2111)]
6【41】[66(2129)67(2141)68(2237)69(2267)70(2309)71(2339)72(2381)73(2549)74(2591)75(2657)76(2687)77(2711)78(2729)79(2789)80(2801)81(2969)82(2999)83(3119)84(3167)85(3251)86(3257)87(3299)88(3329)89(3359)90(3371)91(3389)92(3461)93(3467)94(3527)95(3539)96(3557)97(3581)98(3671)99(3767)100(3821)101(3851)102(3917)103(3929)104(4001)105(4019)106(4049)]
7【59】[107(4091)108(4127)109(4157)110(4217)111(4229)112(4241)113(4259)114(4271)115(4337)116(4421)117(4481)118(4517)119(4547)120(4637)121(4649)122(4721)123(4787)124(4799)125(4931)126(4967)127(5009)128(5021)129(5099)130(5231)131(5279)132(5417)133(5441)134(5477)135(5501)136(5519)137(5639)138(5651)139(5657)140(5741)141(5849)142(5867)143(5879)144(6089)145(6131)146(6197)147(6269)148(6299)149(6359)150(6449)151(6551)152(6569)153(6659)154(6689)155(6701)156(6761)157(6779)158(6791)159(6827)160(6869)161(6947)162(6959)163(7127)164(7211)165(7307)

孪生素数定理

文/施承忠


我们从《孪生素数抽屉》中得到一个关系式T(2qk2)≈Σ1kqk.但是这个关系式只适用于2qk2这个点,对于其他的数就无能为力，我们是不是可以从这个关系式中来导出一个对于所有自然数都适用的数学公式呢？我们利用自然对数这个与筛法有着密切关系的函数得到：
ckx/(lnx)2≈T(x),其中ck=(ln2qk2)2/(2qk2/∑1kqk).2qk2≤x≤2qk+12-2.
虽然这种近似式当x趋向无穷大时，与T(x)相当接近，但是我们还是需要有一个上下界的估计。事实上我们可以这样来计算：T(x)=ckx/(lnx)2-hkx/(lnx)3,因为这个式子，当x大于某一个值时是永远不为零的。经过计算，hk在x=1606这里有一个极值6.0725448056,我们取较大的数6.1得到ckx/(lnx)2-6.1x/(lnx)3≤T(x)≤ckx/lnx+6.1x/(lnx)2.
事实上我们对T(2qk2)≈Σ1kqk还可以这样来估计：因为T(2qk2)≈Σ1kqk中一定存在小于k的t使得T(2qk2)>Σ1tqt.qk2≥qt3.
当然还可以用ax/(lnx)2≤T(x)≤bx/(lnx)2来描述。

素数抽屉

文/施承忠


我们将埃拉托斯特尼筛法抽屉中的全部素数抽屉整理出来，就成为素数抽屉的全部。用
π(x)表示不大于Pk2内的素数个数，它们有一个关系式：π(Pk2)≈1+Σ1kpk



0【1】[1(2)]
1【2】[2(3)3(5)]
2【3】[4(7)5(11)6(13)]
3【5】[7(17)8(19)9(23)10(29)11(31)]
4【7】[12(37)13(41)14(43)15(47)16(53)17(59)18(61)]
5【11】[19(67)20(71)21(73)22(79)23(83)24(89)25(97)26(101)27(103)28(107)29(109)]
6【13】[30(113)31(127)32(131)33(137)34(139)35(149)36(151)37(157)38(163)39(167)40(173)41(179)42(181)]
7【17】[43(191)44(193)45(197)46(199)47(211)48(223)49(227)50(229)51(233)52(239)53(241)54(251)55(257)56(263)57(269)58(271)59(277)]
8【19】[60(281)61(283)62(293)63(307)64(311)65(313)66(317)67(331)68(337)69(347)70(349)71(353)72(359)73(367)74(373)75(393)76(383)77(389)78(397)]
9【23】[79(401)80(409)81(419)82(421)83(431)84(433)85(439)86(443)87(449)88(457)89(461)90(463)91(467)92(479)93(487)94(491)95(499)96(503)97(509)98(521)99(523)100(541)101(547)]
10【29】[102(557)103(563)104(569)105(571)106(557)107(587)108(593)109(599)110(601)111(607)112(613)113(617)114(619)115(631)116(641)117(643)118(647)119(653)120(659)121(661)122(673)123(677)124(683)125(691)126(701)127(709)128(719)129(727)130(733)]

素数定理的改进

文/施承忠


在《素数抽屉》中我们得到了关系式π(Pk2)≈1+Σ1kpk，但是这个关系式只是适用于Pk2这一点，对于其他的数就无能为力，我们是不是可以从这个关系式中来导出一个对于所有自然数都适用的数学公式呢？我们利用自然对数这个与筛法有着密切关系的函数得到：
ckx/lnx≈π(x),其中ck=lnPk2/(Pk2/1+∑1kpk).Pk2≤x≤Pk+12-2.
虽然这种近似式当x趋向无穷大时，与π(x)相当接近，但是我们还是需要有一个上下界的估计。事实上我们可以这样来计算：π(x)=ckx/lnx-hkx/(lnx)2,因为这个式子，当x大于某一个值时是永远不为零的。经过计算，hk在x=96这里有一个极值1.3170939047,我们取较大的数1.32得到ckx/lnx-1.32x/(lnx)2≤π(x)≤ckx/lnx+1.32x/(lnx)2.
事实上我们对π(Pk2)≈1+Σ1kpk还可以这样来估计：因为π(Pk2)≈1+Σ1kpk中一定存在小于k的t使得π(Pk2)>1+Σ1tpt.Pk2≥Pt3.
当然还可以用ax/lnx≤π(x)≤bx/lnx来描述。

用周期律来证明哥德巴赫猜想

文/施承忠

说明：
偶数的同余周期是指
p1*p2*p3***pk中的全部偶数为一个偶数同余周期
t*p1*p2*p3***pk为p1*p2*p3***pk的第t个同余周期
我们将p1*p2*p3***pk中的全部偶数按顺序编号
如果n是p1*p2*p3***pk中的一个顺序编号【h】，则n+t*p1*p2*p3***pk的偶数编号仍然是【h】不变，因为它们与p1,p2,p3,,,pk的同余不变，所以它们是有周期性的
但是t不能大于pk+1,因为p1*p2*p3***pk*pk+1是一个比p1*p2*p3***pk更大的周期偶数
偶数的周期性有这样一个特点，如果编号为【h】的偶数n1是2*p1*p2*p3***pk中n最大D(n)最小的一个偶数，那么n1+p1*p2*p3***pk*pk+1=n2,则D(n2)一定不小于D(n1),并且周期愈大这种情况愈明显，那是因为在p1*p2*p3***pk这一段的素数愈来愈多



6的第1个同余周期

【1】D(2)=0 D(x)≥0
【2】D(4)=1
【3】D(6)=1

因为当偶数大于4时2n-2是偶数
所以当偶数大于4时2n-p中p都是奇素数
在6的第1个同余周期中
不大于1的奇素数只有0个
所以【1】D(2)=0
在6的第2个同余周期中
2+6=8
[1]3+5=8
不大于4的奇素数只有1个
增加了1个
除了在6的第1个同余周期中筛去的外
没有筛去
所以【1】D(8)=1

在6的第1个同余周期中
不大于2的素数只有1个
一个也没有筛去
所以【2】D(4)=1
在6的第2个同余周期中
4+6=10
[1]3+7=10
[2]5+5=10
不大于5的奇素数只有2个
增加了2个
除了在6的第1个同余周期中筛去的外
没有筛去
所以【2】D(10)=2

在6的第1个同余周期中
不大于3的奇素数只有1个
一个也没有筛去
所以【3】D(6)=1
在6的第2个同余周期中
6+6=12
[1]5+7=12
不大于5的奇素数有2个
增加了1个
除了在6的第1个同余周期中筛去的外
筛去了1个
所以【3】D(12)=1

6的第2个同余周期

【1】D(8)=1
【2】D(10)=2
【3】D(12)=1 D(x)≥1

我们在6的第2个同余周期中选一个偶数最大D(2n)最小的【3】D(12)=1
不大于6的奇素数有2个
筛去了1个
所以【3】D(12)=1
在6的第3个同余周期中
12+6=18
[1]5+13=18
[2]7+11=18
不大于9的奇素数有3个
增加了1个
除了在6的第2个同余周期中筛去的外
没有筛去
所以【3】D(18)=2

6的第3个同余周期

【1】D(14)=2
【2】D(16)=2
【3】D(18)=2

我们在6的第3个同余周期中选一个偶数最大D(2n)最小的【3】D(18)=2
不大于9的奇素数有3个
筛去了1个
所以【3】D(18)=2
在6的第4个同余周期中
18+6=24
[1]5+19=24
[2]7+17=24
[3]11+13=24
不大于12的奇素数有4个
增加了1个
除了在6的第3个同余周期中筛去的外
没有筛去
所以【3】D(24)=3

6的第4个同余周期

【1】D(20)=2
【2】D(22)=3
【3】D(24)=3

我们在6的第4个同余周期中选一个偶数最大D(2n)最小的【1】D(20)=2
不大于10的奇素数有3个
筛去了1个
所以【1】D(20)=2
在6的第5个同余周期中
20+6=26
[1]3+23=26
[2]7+19=26
[3]13+13=26
不大于13的奇素数有5个
增加了2个
除了在6的第4个同余周期中筛去的外
筛去1个
所以【1】D(26)=3

因为30的第1周期中
【1】D(2)=0
但是除了【1】D(2)=0外都大于0
所以跳过第1周期

30的第2周期
【1】D(32)=2
【2】D(34)=4
【3】D(36)=4
【4】D(38)=2
【5】D(40)=3
【6】D(42)=4
【7】D(44)=3
【8】D(46)=4
【9】D(48)=5
【10】D(50)=4
【11】D(52)=3
【12】D(54)=5
【13】D(56)=3
【14】D(58)=4
【15】D(60)=6

我们在30的第2个同余周期中选一个偶数最大D(2n)最小的【4】D(38)=2
不大于19的奇素数有7个
筛去了5个
所以【4】D(38)=2
在30的第3个同余周期中
38+30=68
[1]7+61=68
[2]31+37=68
不大于34的奇素数有10个
增加了3个
除了在30的第2个同余周期中筛去的外
筛去了3个
所以【4】D(68)=2

30的第3周期
【1】D(62)=3
【2】D(64)=5
【3】D(66)=6
【4】D(68)=2
【5】D(70)=5
【6】D(72)=6
【7】D(74)=5
【8】D(76)=5
【9】D(78)=7
【10】D(80)=4
【11】D(82)=5
【12】D(84)=8
【13】D(86)=5
【14】D(88)=4
【15】D(90)=9

我们在30的第3个同余周期中选一个偶数最大D(2n)最小的【4】D(68)=2
不大于34的奇素数有10个
筛去了8个
所以【4】D(68)=2
在30的第4个同余周期中
68+30=98
[1]19+79=98
[2]31+67=98
[3]37+61=98
不大于49的奇素数有14个
增加了4个
除了在30的第3个同余周期中筛去的外
筛去了3个
所以【4】D(98)=3

30的第4周期
【1】D(92)=4
【2】D(94)=5
【3】D(96)=7
【4】D(98)=3
【5】D(100)=6
【6】D(102)=8
【7】D(104)=5
【8】D(106)=6
【9】D(108)=8
【10】D(110)=6
【11】D(112)=7
【12】D(114)=10
【13】D(116)=6
【14】D(118)=6
【15】D(120)=12

我们在30的第4个同余周期中选一个偶数最大D(2n)最小的【4】D(98)=3
不大于49的奇素数有14个
筛去了11个
所以【4】D(98)=3
在30的第5个同余周期中
98+30=128
[1]19+109=128
[2]31+97=128
[3]61+67=128
不大于64的奇素数有17个
增加了3个
除了在30的第4个同余周期中筛去的外
筛去了3个
所以【4】D(128)=3

30的第5周期
【1】D(122)=4
【2】D(124)=5
【3】D(126)=10
【4】D(128)=3
【5】D(130)=7
【6】D(132)=9
【7】D(134)=6
【8】D(136)=5
【9】D(138)=8
【10】D(140)=7
【11】D(142)=8
【12】D(144)=11
【13】D(146)=6
【14】D(148)=5
【15】D(150)=12

我们在30的第5个同余周期中选一个偶数最大D(2n)最小的【4】D(128)=3
不大于64的奇素数有17个
筛去了14个
所以【4】D(128)=3
在30的第6个同余周期中
128+30=158
[1]7+151=158
[2]19+139=158
[3]31+127=158
[4]61+97=158
[5]79+79=158
不大于79的奇素数有21个
增加了4个
除了在30的第5个同余周期中筛去的外
筛去了2个
所以【4】D(158)=5

30的第6周期
【1】D(152)=4
【2】D(154)=8
【3】D(156)=11
【4】D(158)=5
【5】D(160)=8
【6】D(162)=10
【7】D(164)=5
【8】D(166)=6
【9】D(168)=13
【10】D(170)=9
【11】D(172)=6
【12】D(174)=11
【13】D(176)=7
【14】D(178)=7
【15】D(180)=14

我们在30的第6个同余周期中选一个偶数最大D(2n)最小的【1】D(152)=4
不大于76的奇素数有20个
筛去了16个
所以【1】D(152)=4
在30的第7个同余周期中
152+30=182
[1]3+179=182
[2]19+163=182
[3]31+151=182
[4]43+139=182
[5]73+109=182
[6]79+103=182
不大于91的奇素数有23个
增加了3个
除了在30的第6个同余周期中筛去的外
筛去了1个
所以【1】D(182)=6

因为210的第1周期中
【1】D(2)=0
但是除了【1】D(2)=0外都大于0
所以跳过第1周期
210的第2周期
【1】D(212)=6
【2】D(214)=8
【3】D(216)=13
【4】D(218)=7
【5】D(220)=9
【6】D(222)=11
【7】D(224)=7
【8】D(226)=7
【9】D(228)=12
【10】D(230)=9
【11】D(232)=7
【12】D(234)=15
【13】D(236)=9
【14】D(238)=9
【15】D(240)=18
【16】D(242)=8
【17】D(244)=9
【18】D(246)=16
【19】D(248)=6
【20】D(250)=9
【21】D(252)=16
【22】D(254)=9
【23】D(256)=8
【24】D(258)=14
【25】D(260)=10
【26】D(262)=9
【27】D(264)=16
【28】D(266)=8
【29】D(268)=9
【30】D(270)=19
【31】D(272)=7
【32】D(274)=11
【33】D(276)=16
【34】D(278)=7
【35】D(280)=14
【36】D(282)=16
【37】D(284)=8
【38】D(286)=12
【39】D(288)=17
【40】D(290)=10
【41】D(292)=8
【42】D(294)=19
【43】D(296)=8
【44】D(298)=11
【45】D(300)=21
【46】D(302)=9
【47】D(304)=10
【48】D(306)=15
【49】D(308)=8
【50】D(310)=12
【51】D(312)=17
【52】D(314)=9
【53】D(316)=10
【54】D(318)=15
【55】D(320)=11
【56】D(322)=11
【57】D(324)=20
【58】D(326)=7
【59】D(328)=10
【60】D(330)=24
【61】D(332)=6
【62】D(334)=11
【63】D(336)=19
【64】D(338)=9
【65】D(340)=13
【66】D(342)=17
【67】D(344)=10
【68】D(346)=9
【69】D(348)=16
【70】D(350)=13
【71】D(352)=10
【72】D(354)=20
【73】D(356)=9
【74】D(358)=10
【75】D(360)=22
【76】D(362)=8
【77】D(364)=14
【78】D(366)=18
【79】D(368)=8
【80】D(370)=14
【81】D(372)=18
【82】D(374)=10
【83】D(376)=11
【84】D(378)=22
【85】D(380)=13
【86】D(382)=10
【87】D(384)=19
【88】D(386)=12
【89】D(388)=9
【90】D(390)=27
【91】D(392)=11
【92】D(394)=11
【93】D(396)=21
【94】D(398)=7
【95】D(400)=14
【96】D(402)=17
【97】D(404)=11
【98】D(406)=13
【99】D(408)=20
【100】D(410)=13
【101】D(412)=11
【102】D(414)=21
【103】D(416)=10
【104】D(418)=11
【105】D(420)=30

我们在210的第2个同余周期中选一个偶数最大D(2n)最小的【61】D(332)=6
不大于166的奇素数有39个
筛去了33个
所以【61】D(332)=6
在210的第3个同余周期中
332+210=542
[1]19+523=542
[2]43+499=542
[3]79+463=542
[4]103+439=542
[5]109+433=542
[6]163+379=542
[7]193+349=542
[8]211+331=542
[9]229+313=542
[10]271+271=542
不大于271的奇素数有57个
增加了18个
除了在第2个同余周期中筛去的外
筛去了14个
所以【61】D(542)=10

D(2)=0
2+2=4
D(4)=1

D(8)=1
D(10)=2
D(12)=1
我们选12
D(12)=1
12+6=18
D(18)=2
从20到24中选20
D(20)=2



从32到60中选32
D(32)=2
32+30=62
D(62)=3

从62到90中选68
D(68)=2
68+30=98
D(98)=3

从92到120中选98
D(98)=3

从212到420中选332
D(332)=6
332+210=542
D(542)=10
从422到630中选488
D(488)=9

从2312到4620中选2672
D(2672)=28
2672+2310=4982
D(4982)=58
从4622到6930中选4688
D(4688)=50







我们做到这里已经计算出
大于2的偶数n,D(n)一定大于0
大于12的偶数n,D(n)一定大于1
大于68的偶数n,D(n)一定大于2
大于332的偶数n,D(n)一定大于6
大于2672的偶数n,D(n)一定大于28

每一个自然数抽屉中除抽屉【1】1外都必然存在一个素数

文/施承忠

证：
自然数的素因子排列必然可以按照自然数的原始序排列即：123...n.在自然数抽屉中的素因子排列也当如此.如果不可，那么必然有非此抽屉中的数混入使之抽屉中的数不是个个连续的.
设某一个抽屉中的自然数序列素因子按照自然数的原始序排列是a1,a2,a3,...an，若ak的最小素因子为p,则必然存在一个at的最小素因子p，使得at+p的最小素因子也是p,at+p-p=at子也是p.
倘若a1不是素数，那么a1一定是一个合数，它必然有一个素因子p,设最近最小素因子为p的数是
a0+p，则a0+p-p=a0,a0不在这个抽屉中，所以这个a1不是合数，它必然是素数.
证毕.



自然数抽屉的前几项：

1[1]
1【2】
2【3】[4]
2【5】[6]
3【7】[8][9]
3[10]【11】[12]
4【13】[14][15][16]
4【17】[18]【19】[20]
5[21][22]【23】[24][25]
5[26][27][28]【29】[30]
6【31】[32][33][34][35][36]
6【37】[38][39][40]【41】[42]
7【43】[44][45][46]【47】[48][49]
7[50][51][52]【53】[54][55][56]
8[57][58]【59】[60]【61】[62][63][64]
8[65][66]【67】[68][69][70]【71】[72]
9【73】[74][75][76][77][78]【79】[80][81]
9[82]【83】[84][85][86][87][88]【89】[90]
10[91][92][93][94][95][96]【97】[98][99][100]
10【101】[102]【103】[104][105][106]【107】[108]【109】[110]



它们的自然数原始排列：

1[1]
1【2】
2【3】[4]
2【5】[6]
3【7】[8][9]
3【11】[10][12]
4【13】[14][15][16]
4【17】[18]【19】[20]
5【23】[22][21][24][25]
5【29】[26][27][28][30]
6【31】[32][33][34][35][36]
6【37】[38][39][40]【41】[42]
7【43】[44][45][46]【47】[48][49]
7【53】[50][51][52][55][54][56]
8【59】[58][57][60]【61】[62][63][64]
8【67】[66][69][68][65][70]【71】[72]
9【73】[74][75][76][77][78]【79】[80][81]
9【83】[82][87][86][85][88][84]【89】[90]
10【97】[92][93][94][95][96][91][98][99][100]
10【101】[102]【103】[104][105][106]【107】[108]【109】[110]

每一个自然数抽屉中除抽屉【1】1外都必然存在一个素数

文/施承忠

证：
自然数的素因子排列必然可以按照自然数的原始序排列即：123...n.在自然数抽屉中的素因子排列也当如此.如果不可，那么必然有非此抽屉中的数混入使之抽屉中的数不是个个连续的.
设某一个抽屉中的自然数序列素因子按照自然数的原始序排列是a1,a2,a3,...an，若ak的最小素因子为p,则必然存在一个at的最小素因子p，使得at+p的最小素因子也是p,at+p-p=at.
倘若a1不是素数，那么a1一定是一个合数，它必然有一个素因子p,设最近最小素因子为p的数是
a0+p，则a0+p-p=a0,a0不在这个抽屉中，所以这个a1不是合数，它必然是素数.
证毕.