欧几里得21、诡异逻辑；集合与定义；“数轴是什么”与实数的诞生…

“人们原来认为‘数轴是表示有理数的轴’、‘数轴就是有理数’、‘有理数按顺序从小到大排列，形成了数轴’…”PPT作者说，“发现无理数后，人们知道了：数轴由有理数和无理数一起组成…”
…数轴：见《欧几里得20》…
…PPT作者：《数学的真相》PPT的作者…
“于是…出现了一个问题：数轴是什么？…”PPT作者接着说，“原来，人们认为，数轴是有理数…‘数轴由有理数和无理数组成’，这个数学事实被发现后，人们得到了一个诡异结论：数轴是有理数、无理数…”
“这句话有很多不同的叙述方式：有理数、无理数是数轴；有理数是数轴，无理数也是数轴；数轴既是无理数，又是有理数…”PPT作者继续说，“按这个逻辑推理下去，会得出‘无理数等于数轴等于有理数（无理数=数轴=有理数）’这个荒唐结论…”
“显然，‘无理数=数轴=有理数’不符合事实（不符合数学事实）…”PPT作者最后说，“有理数、无理数一起组成了数轴…数轴是有理数、无理数的集合…”
…集：1.集合；聚集——汇～，～思广益。2.集市——赶～。3.集子——诗～，文～。4.某些篇幅较长的著作或作品中相对独立的部分——影片上下两～…
…合：1.闭；合拢——～眼，笑得～不上嘴。2.结合到一起；凑到一起；共同（跟“分”相对）——～办，同心～力。3.全——～村，～家团聚。4.符合——～情～理，正～心意。5.旧小说中指交战的回合——大战三十余～。6.在太阳系中，当行星运行到与太阳、地球成一直线，并且地球不在太阳与该行星之间的位置时，叫做合…

…集合：1.许多分散的人或物聚集在一起。2.数学名词。指若干具有共同属性的事物的总体。如全部自然数就成一个自然数的集合，一个单位的全体人员就成一个该单位全体人员的集合。简称“集”…
“也就是说，数轴是‘有理数、无理数的集合’…”PPT作者说，“那么，‘有理数、无理数的集合’是什么…”
“这是一个新东西…新东西，意味着，人们要给它下定义，人们要给它起名字…”PPT作者接着说，“人们要描述它是什么…”
…定义：对事物做出的明确描述；对一种事物的本质特征或一个概念的内涵的确切而简要的说明…
…下定义：用简洁明确的语言对事物的本质特征作概括的说明方法…
“有理数、无理数是什么？有理数、无理数的本质特征是什么？…”PPT作者继续说，“人们对这些问题进行了思考…”
“人们发现，有理数、无理数…它们都是实际存在的数…”PPT作者最后说，“于是，人们给它们取名‘实数’…”
…
“‘实数’诞生了…”PPT作者说。
“用‘实数’解释数轴…人们得到了以下结论：数轴由实数组成；实数组成了数轴；数轴是实数；实数是数轴…”PPT作者说，“这些都是符合数学事实的…”

““数学家擅长用数学分析错综复杂的自然界…”现代学者说，“他们会将自然界的景象抽象成数字，然用数字组成的公式——函数，描述景象的过去、现在、以及未来…”
请看下集《欧几里得22、用数字组成的公式（函数），描述世界的过去、现在、以及未来…》”
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欧几里得22、用数字组成的公式（函数），描述世界的过去、现在、以及未来…

“实数诞生后，‘万物皆数’有了新说法…”PPT作者接着说，“今天持‘万物皆数’观点的人认为：一切实在物皆有形，形可以用数描述；运动与变化伴随着能量的交换与转化，能量可以用数表示；人的知识本质上是信息，信息可以用数记取；万物有质的不同，质又可以用数刻画…”
…质：1、事物的根本特性。2.哲学上，指一事物之所以是该事物并区别于其他事物的规定性。3.质料，构成事物的材料…
…PPT作者：《数学的真相》PPT的作者…
“就是数，无理数和万物皆数理论并不矛盾…”PPT作者最后说，“由此，第一次数学危机得到彻底解决…”
…
“数学家擅长用数学分析错综复杂的自然界…”现代学者说，“他们会将自然界的景象抽象成数字，然用数字组成的公式——函数，描述景象的过去、现在、以及未来…”
…抽象：从具体事物抽出、概括出它们共同的方面、本质属性与关系等，而将个别的、非本质的方面、属性与关系舍弃，这种思维过程，称为抽象…见《欧几里得17》…
“数学家主观上，并不认为‘万物皆数’（数学家也认为万物是由不同物质组成的）…”现代学者接着说，“他们只是用数字分析万物…”
“‘万物能用数字分析’，这个简单事实表明：‘数’是万物的本质属性之一；万物均含有‘数’这个属性…”现代学者继续说。

“当然，万物中并不含有‘数’…‘数’只是人类发明的、用来描述万物的、想象出来的概念…”现代学者最后说，“‘数’并不是客观存在的…”
…
“发现无理数后，怎样表示无理数成了一个问题…”另一位现代学者说，“无理数不像整数和分数…”
“整数和分数可以写出来（人们能确实看到整数和分数）…”现代学者接着说，“但是，人们却无法写出无理数…”
“这意味着：人们无法确实看到无理数…”现代学者继续说。
“俗话说，‘眼见为实’…”现代学者最后说，“当人们看不到某种东西时，人们倾向于认为：这种东西是不存在的…”
…眼见为实一般指谚语“耳听为虚，眼见为实”…
…耳听为虚，眼见为实：形容不要轻信传闻，看到的才是事实。听来的传闻是靠不住的，亲眼看到才算是真实的。是在说“亲眼看见的比听说的要真实可靠”…
“直到今天，人们也很难相信，世界上有无理数…”现代学者说。
“虽然普通人被灌输：世界上有无理数；无理数是存在的…”现代学者接着说，“但他们其实并没有见过无理数…”
（“仔细回想一下，我们是从什么时候起，开始认为世界上存在无理数？…”现代学者说，“没错，学校的老师这样给我们说的…于是我们认为世界上存在无理数…”）

““间接是与对象发生关联时，必须借助一个中间媒介才能产生关联，没有中间媒介就不会产生关联…”网友说。
请看下集《欧几里得23、耳听为虚，眼见为实——无理数是否存在？》”
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欧几里得23、耳听为虚，眼见为实——无理数是否存在？

“虽然普通人被灌输：世界上有无理数；无理数是存在的…”现代学者接着说，“但他们其实并没有见过无理数…”
（“仔细回想一下，我们是从什么时候起，开始认为世界上存在无理数？…”现代学者说，“没错，学校的老师这样给我们说的…于是我们认为世界上存在无理数…”）
“一旦普通人开始认真思考，他们会质疑无理数的根本：无理数是否存在？…”现代学者继续说。
…
“其实，这是一个思维方式的问题…”另一位现代学者说，“虽然我们看不到无理数，但是，我们依旧能得出‘世界上存在无理数’这个简单数学事实…”
…思维方式：思考的方法…
“例如，对于圆来说，我们知道，直径是存在的（直径的长度是存在的），周长也是存在的…”现代学者接着说，“显而易见，周长除以直径的值，也是存在的…”
“周长除以直径的值，就是我们所说的圆周率…”现代学者继续说。
“同理…对于边长为1的正方形…边长是存在的，对角线也是存在的…”现代学者最后说，“对角线的长度，就是对2进行开方运算后，得出的那个数…虽然我们无法将它写出来，但是我们知道，那个数是存在的…”

“人们无法直接写出无理数…所以，人们采用间接的方法，表示无理数…”现代学者说。
…直接：不经过中间事物…
“直接是不经过中间事物，直接与对象进行关联…”网友说。
…间接：经过中间事物…
“间接是与对象发生关联时，必须借助一个中间媒介才能产生关联，没有中间媒介就不会产生关联…”网友说。
“人们用字母或根号间接表示无理数…”现代学者接着说，“例如，人们用π表示圆周率…”
“‘π表示圆周率’，做出这个定义后，我们看到π，就会联想到圆周率…”现代学者继续说，“通过‘π’这个媒介，我们将‘圆周率’这个无理数表示了出来…”
“同理，人们用根号2（√2），表示对2进行开方运算后，得出的那个无理数…”现代学者最后说。

“2是存在的，对2进行开方运算后，得出的数也是存在的…”现代学者说，“只是人们无法把它写出来…”
“‘对2进行开方运算（根号2）’，人们用这种方法，表示对2进行开方运算后，得出的那个无理数…”现代学者接着说。
…
“人们通过根号2（√2）这个媒介，将‘对2进行开方运算后，得出的无理数’表示了出来…”现代学者最后说。

“约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题——他采用了一个十分巧妙的关于‘两个量之比’的新说法，回避了无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比（见《欧几里得19~20》）…”荟（huì）文苑（yuàn）说。

“狄德金1850年进入哥廷根大学，成为C·F·高斯的学生，1852年完成关于欧拉积分的博士论文，受到高斯赏识…
请看下集《欧几里得24、数学家狄德金；哥廷根大学；QS世界大学排名；泰晤士世界大学排名》”
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欧几里得24、数学家狄德金；哥廷根大学；QS世界大学排名；泰晤士世界大学排名

“约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题——他采用了一个十分巧妙的关于‘两个量之比’的新说法，回避了无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比（见《欧几里得19~20》）…”荟（huì）文苑（yuàn）说。
…荟文苑：某老师在网上的名字，见《欧几里得13》…
“他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致…”荟文苑接着说。
狄德金：德国数学家…1831年10月6日生于不伦瑞克（德国中北部城市），1916年2月12日卒（zú）于同地…
…卒：死亡——生～年月…
狄德金1850年进入哥廷根大学，成为C·F·高斯的学生，1852年完成关于欧拉积分的博士论文，受到高斯赏识。1854年起在哥廷根大学任讲师。在哥廷根他与任教的P·G·L·狄利克雷和B·黎曼结为好友。后来狄利克雷和黎曼的全集都是由狄德金编辑的。1858年他应聘到瑞士苏黎世综合工科学校任教。1862年回到不伦瑞克综合工科学校教书…

…哥廷根大学：乔治·奥古斯都·哥廷根大学（德文：Georg-August-Universität Göttingen，拉丁文：Universitas Regiæ Georgiæ Augustæ）简称哥廷根大学，因德国汉诺威公爵兼英国国王格奥尔格二世创建而得名。哥廷根大学坐落于德国西北部的下萨克森州南部哥廷根市。作为一所世界一流综合研究型大学，哥廷根大学是科英布拉集团、德国精英大学、U15大学联盟重要成员…哥廷根大学名人辈出，蜚（fēi）声世界，设有马克斯·普朗克生物物理化学研究所、以及马克斯·普朗克太阳能研究所，使哥廷根大学在生物物理领域以及能源领域长期保持世界领先地位… 截止至2017年，从哥廷根大学走出的诺贝尔奖获奖人数为45人，数量为德国第2位、世界第15位…哥廷根大学在2018年QS世界大学排名位居世界第114位，在2019年泰晤士世界大学排名位居世界第123位…
…科英布拉集团（英文名称The Coimbra Group，简称CG）：是成立于1985年的欧洲最古老及最富声望的大学联盟，由23个国家的39所大学组成，包括杜伦大学、爱丁堡大学、日内瓦大学、哥廷根大学等全球一流学府。其得名于葡萄牙的科英布拉大学（欧洲最古老的大学之一）…
…U15大学联盟（德语：German U15 Universitäten）：是由德国15所著名研究型大学组成的高校联盟。联盟成立于2012年10月12日，宗旨为改善德国科研和教育的架构…
…蜚：古同“飞”…
…蜚声：扬名——～海内外…
…QS世界大学排名：由英国一家国际教育市场咨询公司Quacquarelli Symonds（简称QS，中文名夸夸雷利·西蒙兹公司）所发表的年度世界大学排名…QS世界大学排名将学术声誉、雇主声誉、师生比例、研究引用率、国际化作为评分标准…因其问卷调查形式的公开透明而获评为世上最受注目的大学排行榜之一，但也因具有过多主观指标和商业化指标而受到批评…

““尽管‘分析’作为一个正式的概念在近年来才逐步建立起来，但是…这一技巧自亚里士多德时代，就已经被人们应用在了数学、逻辑学等多个领域…”现代学者说。
请看下集《欧几里得25、尤利乌斯·戴德金；代数；一项被普遍应用的技术——“分析”》”
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欧几里得25、尤利乌斯·戴德金；代数；一项被普遍应用的技术——“分析”

…泰晤士世界大学排名：《泰晤士报高等教育特刊》（以下简称《特刊》）公布的世界大学排名…泰晤士世界大学排名参考五大指标，按不同比重评分，包括教学、研究、论文引用、国际化及企业创新资金投入…
“狄德金，又译戴德金…”现代学者说。
尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind ，1831—1916）：德国数学家、理论家和教育家，近代抽象数学的先驱。据《辞海》，戴德金还是哥廷根大学哲学博士、柏林科学院院士…
…抽象：从具体事物抽出、概括出它们共同的方面、本质属性与关系等，而将个别的、非本质的方面、属性与关系舍弃，这种思维过程，称为抽象…见《欧几里得17》…
…哥廷根大学：见《欧几里得24》…
1831年10月6日，戴德金生于德国下萨克森州（位于德国西北部）东部城市不伦瑞克一知识分子家庭。父亲为法学教授，母亲亦出身于知识分子家庭。
戴德金早年在不伦瑞克大学预科学习化学和物理。
…预科：？？？…
“大家知道预科是什么意思吗？…很多想出国留学的同学应该知道预科的意思…但是大部分人还是不知道预科是什么意思…”网友说。
“预科一般指大学基础课程，也可以说是大学的学前预备教育…”网友接着说。
“想要出国留学的同学需要在海外读一年的预科来适应国外的生活以及学习方式…完成了一年的预科之后，再根据成绩好坏决定能否升入原先选择的院校…”网友继续说。
“成绩非常优异情况下，还可以转入比之前选的大学更好的大学进行学习…”网友最后说。

1848年，戴德金进入卡罗莱纳学院学习力学、微积分、代数分析、解析几何和自然科学。
…代数：数学的分支学科。通过用字母代表数进行运算。能简明地表示数量关系，可以解决用算术难以解决的问题…
…析：1.分开；散开——分崩离～。2.分析——剖～，解～几何…
…分析：把一件事物、一种现象、一个概念分成较简单的组成部分，找出这些部分的本质属性和彼此之间的关系（跟“综合”相对）——化学～，～问题，～目前国际形势…
“分析（英语：Analysis）是在头脑中把事物或对象由整体分解成各个部分，或将对象的各种属性抽离出来（俗称“抽象”）…”现代学者说。
“尽管‘分析’作为一个正式的概念在近年来才逐步建立起来，但是…这一技巧自亚里士多德时代，就已经被人们应用在了数学、逻辑学等多个领域…”现代学者接着说。
…解：1.分开——～剖，瓦～，难～难分。2.把束缚着或系着的东西打开——～扣儿，～衣服…
…解析：拆解分析…
…几何：汉语词语，一般指几何学…
…几何学：研究空间图形的形状、大小和位置的相互关系的科学…

“毕业后…找不到工作的戴德金于1854年留校任代课讲师。
请看下集《欧几里得26、算术的起源；有理数和无理数可以构成无空隙的实数连续系统吗？》”
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欧几里得26、算术的起源；有理数和无理数可以构成无空隙的实数连续系统吗？

…解析几何（几何学分支）一般指坐标几何…
…坐标几何：指借助笛卡尔坐标系。由笛卡尔、费马等数学家创立并发展。它用代数方法研究几何对象之间的关系和性质。是几何学分支，亦叫做解析几何…
1850年，戴德金转入哥廷根大学新办的数学和物理学研习班…跟从数学家C.F.高斯研究最小二乘法和高等测量学，跟从斯特恩攻数论基础，跟从韦伯攻物理…戴德金还选修了天文学。
1852年，戴德金以题为《关于欧拉积分的理论》一论文获得哲学博士学位。
毕业后…找不到工作的戴德金于1854年留校任代课讲师。
1855年高斯去世后，戴德金在哥廷根大学又先后听过狄利克雷教授的数论、位势理论、定积分和偏微分方程，以及波恩哈德·黎曼教授的阿贝尔函数和椭圆函数等课程，进而萌生了借助于算术性质来重新定义无理数的想法。
（…性质：事物本身所具有的、区别于其他事物的特征…）
…算术：数学的一个分支，是数学中最基础、最初等的部分。主要研究零和正整数、正分数的记数法，在加、减、乘、除、乘方、开方运算下产生的数的性质、运算法则、以及它们在社会实践中的应用…
“算术是数学中最古老、最基础和最初等的部分，它研究数的性质及其运算…”现代学者说，“把数、数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来，并加以整理，就形成了最古老的一门数学——算术…”

“在古代，全部数学就叫做算术…现代的代数学、数论等最初就是由算术发展起来的…”现代学者接着说，“后来，算学、数学的概念出现了…它们代替了算术的含义，包括了全部数学…算术就变成了其中的一个分支。”
…数论：隶属于“纯粹数学”…主要研究整数的性质…
…纯粹数学：一门专门研究数学本身，不以实际应用为目的的学问。研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，也可以说是研究数学本身的规律。相对于应用数学而言，和其它一些不以应用为目的的理论科学（如理论物理、理论化学）有密切的关系…
…算：计算数目…
…算学：计算数目的学问；算术…
…数：数目…
…数学：数目的学问；研究事物数量和形状规律的一门学科…
1855年起，戴德金开始讲授伽（gā）罗瓦理论，成为教坛上最早涉足这一领域的学者。
1858－1862年，戴德金在苏黎世综合工业学院任教授…这段时间，他主要进行实数理论基础的研究。
1862－1912年，戴德金任不伦瑞克（德国中北部城市）高等技术学校教授…在此期间，他发展了理论：有理数和无理数可以构成一个（无空隙的）实数的连续系统…
“前提是实数和直线上的点有着一一对应的关系…”戴德金说。

“归纳：1.归拢并使有条理（多用于抽象事物）——大家提的意见，～起来主要就是这三点。2.一种推理方法，由具体事实概括出一般原理（跟“演绎”相对）…
请看下集《欧几里得27、归纳和推理；归纳推理；白天鹅与按时发放的工资…》”
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欧几里得27、归纳和推理；归纳推理；白天鹅与按时发放的工资…

1862－1912年，戴德金先后当选为法国科学院、柏林科学院和罗马科学院院士。
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。此外，他还研究了结构理论的基础，使之成为现代代数的中心分支之一。
…归纳：？…
…完全数学归纳法：？？？…
…映象：？…
…结构：？…
…理论：？…
…结构理论：？？？…
一个一个讲吧…

归纳：1.归拢并使有条理（多用于抽象事物）——大家提的意见，～起来主要就是这三点。2.一种推理方法，由具体事实概括出一般原理（跟“演绎”相对）…
…抽象：从具体事物抽出、概括出它们共同的方面、本质属性与关系等，而将个别的、非本质的方面、属性与关系舍弃，这种思维过程，称为抽象…见《欧几里得17》…
“数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性结论的思考方法…”现代百姓说，“是种从部分到整体，从特殊到一般，从个别到普遍的推理…”
…推理：由一个或几个已知的判断（前提）推出新判断（结论）的过程…
归纳法一般指归纳推理。
归纳推理：由个别到一般的推理。
“例如：在一个平面内，直角三角形内角和是180°；锐角三角形内角和是180°；钝角三角形内角和是180°…直角三角形，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形，所以，平面内的一切三角形内角和都是180°…”现代学者说，“这个例子从直角三角形，锐角三角形和钝角三角形内角和分别都是180°这些个别性知识，推出了‘一切三角形内角和都是180°’这样的一般性结论，就属于归纳推理…”
…直角：90°的角…
…锐角：大于0°小于90°的角…
…钝角：大于90°小于180°的角…
…直角三角形：1个角是直角的三角形…
…锐角三角形：3个内角都是锐角的三角形…
…钝角三角形：1个角是钝角的三角形…

“所谓归纳推理，就是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理…”现代百姓说。
…性质：事物本身所具有的、区别于其他事物的特征…
“比如说你看到的都是白天鹅，然后你说‘天鹅都是白色的’…”现代百姓接着说，“天鹅是一类事物…你看到的天鹅是‘天鹅’这类事物的一部分（是部分天鹅）…你根据‘部分天鹅是白色的’这个事实推出结论——天鹅都是白色的…’
“这是归纳推理…”现代百姓最后说。

“再比如说你每月按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’…”现代百姓说，“工资是一类事物…你的工资是‘工资’这类事物的一部分…你根据‘自己工资是按时发的’这个事实推出结论——工资都是按时发的…”

““完全的词意是‘全部’…”现代学者说，“完全归纳推理…顾名思义…就是考察了（某类事物的）全部对象的归纳推理…”
请看下集《欧几里得28、归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理》”
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欧几里得28、归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理

“再比如说你每月按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’…”现代百姓说，“工资是一类事物…你的工资是‘工资’这类事物的一部分…你根据‘自己工资是按时发的’这个事实推出结论——工资都是按时发的…”
“这也是归纳推理…”现代百姓继续说。
“当然，有的工资是不按时发的…”现代百姓最后说，“根据我的经验…大部分工资是不按时发的…”
…
“传统上，根据考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理…”现代学者说。
…考察：1.实地观察调查——他们到各地～水利工程。2.细致深刻地观察——进行科学研究，必须勤于～和思索，才能有成就…
…对象：1.行动或思考时作为目标的人或事物——研究～。2.特指恋爱的对方——找～。他有～了…
“完全归纳推理考察了某类事物的全部对象…”现代学者接着说，“比如上集（《欧几里得27》）说到的三角形…”
“在一个平面内，直角三角形内角和是180°；锐角三角形内角和是180°；钝角三角形内角和是180°…直角三角形，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形，所以，平面内的一切三角形内角和都是180°…”现代学者继续说，“这个例子中，考察对象是‘三角形’，考察范围是‘全部’…考察了全部三角形后，归纳出‘一切三角形内角和都是180°’的结论…”
“这是完全归纳推理…”现代学者最后说。

“不完全归纳推理则仅仅考察了某类事物的部分对象…”现代学者说，“比如上集说到的白天鹅和工资…”
（“当然，这集也说到了工资…”现代学者说。）
“你看到的都是白天鹅，然后你说‘天鹅都是白色的’…”现代学者接着说，“这个例子中，考察对象是‘天鹅’，考察范围是‘你看到的天鹅’…考察了你看到的天鹅后，归纳出结论——天鹅都是白色的…”
“你看到的天鹅是‘天鹅’这类事物的部分对象…”现代学者继续说，“这是不完全归纳推理…”
…
“你每月按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’…”现代学者说，“这个例子中，考察对象是‘工资’，考察范围是‘你的工资’…考察了你的工资后，归纳出结论——工资都是按时发的…”
“你的工资是‘工资’这类事物的部分对象…”现代学者最后说，“这也是不完全归纳推理…”
…完全：1.齐全；不缺少什么——话还没说～。四肢～。2.全部；全然——～同意。他的病～好了…
“完全的词意是‘全部’…”另一位现代学者说，“完全归纳推理…顾名思义…就是考察了（某类事物的）全部对象的归纳推理…”
“不完全，意思是‘不是全部’‘缺少部分内容的’…”现代学者接着说，“不完全归纳推理…就是考察了（某类事物的）部分对象的归纳推理…”

“…公理系统：公理和以公理为依据，用三段论的方法推出的定理、推论…共同组成的系统，如欧几里得的《几何原本》（最初的公理系统），牛顿力学体系（俗称“经典力学”）…
请看下集《欧几里得29、数学归纳推理；实践得出公理，公理指导实践；映象、结构与理论》”
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欧几里得29、数学归纳推理；实践得出公理，公理指导实践；映象、结构与理论

1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。此外，他还研究了结构理论的基础，使之成为现代代数的中心分支之一。
…归纳：见《欧几里得27~28》…
…数学归纳法（数学归纳推理）：一种数学证明方法，通常被用于证明某个命题在整个（或者局部）自然数范围内成立…
（…命题：1、逻辑学指表达判断的句子，由系词把主词和宾词联系而成。例如：“北京是中国的首都”，这个句子就是一个命题。2、在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题…）
…原理：自然科学和社会科学中的基本规律。是在大量观察、实践的基础上，经过归纳而得出的。既能指导实践，又能经受住实践的检验…
“原理是最基本的、可以作为其他规律的基础的规律…”现代百姓说，“科学原理以大量的实践为基础，故其正确性能被实践所检验与确定…从科学原理出发，可以推导出各种具体的定理、命题，从而对实践起指导作用…”
“原理在公理体系中，叫‘公理’…”现代百姓接着说。
…公理体系一般指公理系统…
…公理系统：公理和以公理为依据，用三段论的方法推出的定理、推论…共同组成的系统，如欧几里得的《几何原本》（最初的公理系统），牛顿力学体系（俗称“经典力学”）…
…
…映：1.照——炉火把他的脸～得通红。～射。2.因光线照射而显出物体的形象——水面倒～着美丽的白塔。新片上～…

…象：1.哺乳动物，是陆地上现存最大的动物。耳朵大，鼻子长。2.形状；样子——景～。天～。气～。印～。万～更新。3.仿效；模拟——～形。～声…
…映象（心理学名词）：脑对客观事物的主观反映（客观事物在脑海中显示的形状）…
…结：发生某种关系；结合——～仇。～社。～为夫妻…
…构：繁体字是“構”。“冓（gōu）”意为“碰头”，“木”指木材、木条，“木”与“冓”联合起来表示“木条的头部相互衔接”…构本义（一个词的最初含义）是“木工制作”…
…结构：1.建筑物承受重量和外力的部分及其构造。按材料分有钢结构、木结构、钢筋混凝土结构、砖石结构和混合结构等。按形式分有拱桁（háng）架、薄壳结构和悬索结构等。2.构成整体的各个部分及其结合方式——经济～。文章～。3.文艺作品的内部构造。即作品的各个部分（包括内容和形式）之间的联系…
…理：1.物质组织的条纹；纹理——木～。肌～。条～。2.道理；事理——合～。～屈。～当如此。3.自然科学，有时特指物理学——～科。数～化。4.管理；办理——处～。～财。当家～事。5.整理；使整齐——～发。～一～书籍…
…论：1.分析和说明道理——评～。议～。2.分析和说明道理的言论、文章或理论——舆～。社～。历史唯物～…
…理论：概念和原理的体系。是系统化了的理性认识。正确的理论是客观事物的本质和规律的正确反映；来源于社会实践，并指导人们的实践活动…

“戴德金在数学上有很多新发现，不少概念和定理以他的名字命名…他的主要贡献之一是：在实数和连续性理论方面，他提出“戴德金分割”，给出了无理数及连续性的纯算术定义。
请看下集《欧几里得30、戴德金分割——从算术角度，回答了“无理数是什么”》”
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欧几里得30、戴德金分割——从算术角度，回答了“无理数是什么”

…结构理论：起源最早可追溯（sù）至20世纪初。当时西方有一部份学者对现代文化分工太细，只求局部、不讲整体的“原子论”倾向感到不满，他们渴望恢复自文艺复兴以来中断了的注重综合研究的人文科学传统，因此提出了“体系论”和“结构论”的思想，强调从大的系统方面（如文化的各个分支或文学的各种体裁）来研究它们的结构和规律性…
（…溯：1.沿水逆流而上。2.往上推求和回想…
…追溯：逆流而上，向江河发源处走，比喻探索事物的由来——两国交往的历史可以～到许多世纪以前…）
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。此外，他还研究了结构理论的基础，使之成为现代代数的中心分支之一。现今数学上的许多命题和术语，如环、场、结构、截面、函数、定理、互换原理等，都是与他的名字联系在一起的。
…归纳：见《欧几里得27~28》…
…数学归纳法：见《欧几里得29》…
…映象：见《欧几里得29》…
戴德金于1916年2月12日在不伦瑞克去世。
…不伦瑞克：德国中北部城市…
尽管戴德金的关于数学基本理论的许多重要思想在他生前并未被人们充分认识，但是…它们影响了现代数学的发展…
…
戴德金在数学上有很多新发现，不少概念和定理以他的名字命名…他的主要贡献之一是：在实数和连续性理论方面，他提出“戴德金分割”，给出了无理数及连续性的纯算术定义。
…定义：对一种事物的本质特征的确切而简要的说明…
…无理数的纯算术定义：？…
“欧多克斯曾给出无理数的几何定义（见《欧几里得19~20》）——欧多克斯曾从几何角度回答了‘无理数是什么’这个问题…”现代百姓说。
“这里，戴德金给出了无理数的算术定义…”现代百姓接着说，“戴德金用‘戴德金分割’，从算术角度，回答了‘无理数是什么’这个问题…”

【戴德金分割】
假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B…A中的每一个元素都小于B中的每一个元素…任何一种分类方法称为有理数的一个分割。
…集：集合；聚集…
…合：结合到一起；凑到一起；共同（跟“分”相对）…
…集合：1.许多分散的人或物聚集在一起。2.数学名词。指若干具有共同属性的事物的总体。如全部自然数就成一个自然数的集合，一个单位的全体人员就成一个该单位全体人员的集合。简称“集”…
…元素：代数中，指组成联合的各个部分，如723和312中的7，2，3，1。几何中，指构成图形的各个部分，如构成三角形的边和角。化学上指具有相同核电荷数（即相同质子数）的同一类原子的总称，如氧元素、铁元素…

““英文中，‘最大’写作‘maximum’…即——‘最大’的英语单词是‘maximum’…”现代学者接着说，“数学家为了简洁的表示‘最大’，常用‘max’…‘max’这个符号，就来源于英语单词‘maximum’…”
请看下集《欧几里得31、“戴德金分割”少儿版：少儿都能学会的高等数学…》”
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欧几里得31、“戴德金分割”少儿版：少儿都能学会的高等数学…

【戴德金分割】1
假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B…A中的每一个元素都小于B中的每一个元素…任何一种分类方法称为有理数的一个分割。
…集：集合；聚集…
…合：结合到一起；凑到一起；共同（跟“分”相对）…
…集合：1.许多分散的人或物聚集在一起。2.数学名词。指若干具有共同属性的事物的总体。如全部自然数就成一个自然数的集合，一个单位的全体人员就成一个该单位全体人员的集合。简称“集”…
…元素：算术中，指组成联合的各个部分，如723和312中的7，2，3，1。几何中，指构成图形的各个部分，如构成三角形的边和角。化学上指具有相同核电荷数（即相同质子数）的同一类原子的总称，如氧元素、铁元素…
“在数学集合（简称‘集’）中，元素指组成集的每个对象…”现代学者说，“换言之，集合由元素组成…”
…换言之：换句话说…
“组成集合的每个对象被称为组成该集合的元素，如集合{1，2，3}中，1、2、3都是集合的一个元素…”现代学者接着说。
…A中的每一个元素都小于B中的每一个元素：？？？…
“A中的元素可以用a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7…表示，B中的元素可以用b1、b2、b3、b4、b5、b6、b7…表示，”现代学者说，“‘A中的每一个元素都小于B中的每一个元素’指的是，在‘a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7…’这些元素中，随便挑一个元素，让它和B中的元素去比较…它必须小于B中的元素…”
“这里…‘B中的元素’…也是随便挑的…”现代学者接着说。

【戴德金分割】2
对于任一分割，必有3种可能，其中有且只有1种成立。
“这句话是什么意思呢…”现代学者说，“这句话的意思是：对于任一分割，一定有3种可能，其中有、且只有1种成立…”

【戴德金分割】3
分割的3种可能…第1种：A有一个最大元素a，B没有最小元素。例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数。
“这句话是什么意思呢…”现代学者说，“我们细嚼慢咽的理解…”
“‘A有一个最大元素a’…怎么理解呢…”现代学者说。
“英文中，‘最大’写作‘maximum’…即——‘最大’的英语单词是‘maximum’…”现代学者接着说，“数学家为了简洁的表示‘最大’，常用‘max’…‘max’这个符号，就来源于英语单词‘maximum’…”
“‘A有一个最大元素a’，可以写作a（max）…”现代学者继续说，“a（max）的写法是我发明的…”
“按说应该写的a大一点，max小一点…但是这样的话，发到网上就会变成‘amax’…”现代学者最后说。
…
“由于发明数学符号的人常用英语，所以他们用英文单词简洁的表达数学知识…”现代学者说，“我们作为汉藏语系的人…将来要是有出息了…可以发明一些汉语符号…简洁的表示自然科学中，新发现的知识、规律…”

““数学家用‘min’表示‘最小’，‘min’源自英语单词minimum（最小的）…”现代学者说，“那么，B有一个最小元素b，这个‘最小元素b’就可以表示成b（min）…”
请看下集《欧几里得32、数学符号与语言的联系；人类对“简洁”的喜爱；戴德金分割3》”
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欧几里得32、数学符号与语言的联系；人类对“简洁”的喜爱；戴德金分割3

【戴德金分割】3
分割的3种可能…第1种：A有一个最大元素a，B没有最小元素。例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数。
“这句话是什么意思呢…”现代学者说，“我们细嚼慢咽的理解…”
“‘A有一个最大元素a’…怎么理解呢…”现代学者说。
“英文中，‘最大’写作‘maximum’…即——‘最大’的英语单词是‘maximum’…”现代学者接着说，“数学家为了简洁的表示‘最大’，常用‘max’…‘max’这个符号，就来源于英语单词‘maximum’…”
“‘A有一个最大元素a’，可以写作a（max）…”现代学者继续说，“a（max）的写法是我发明的…”
“按说应该写的a大一点，max小一点…但是这样的话，发到网上就会变成‘amax’…”现代学者最后说。
…
“由于发明数学符号的人常用英语，所以他们用英文单词简洁的表达数学知识…”现代学者说，“我们作为汉藏语系的人…将来要是有出息了…可以发明一些汉语符号…简洁的表示自然科学中，新发现的知识、规律…”
…
“其实…即便我们发现新知识了…我们很可能还是用英文字母表示它们…”另一位现代学者说，“因为英文字母更简洁…”
“人类都在用阿拉伯数字，而不是自己语言中的数字…也是这个道理…”现代学者接着说。
“人类喜欢简洁…”现代学者最后说。
…
“A有一个最大元素a——这个‘最大元素a’可以写作‘a（max）’…”现代学者说，“B没有最小元素…”
“就是说，集合A包含a（max）及所有小于a（max）的有理数，集合B包含所有大于a（max）的有理数…”现代学者接着说，“例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数…”

【戴德金分割】4
分割的3种可能…第2种：B有一个最小元素b，A没有最大元素。例如A是所有<1的有理数，B是所有≥1的有理数。
“数学家用‘min’表示‘最小’，‘min’源自英语单词minimum（最小的）…”现代学者说，“那么，B有一个最小元素b，这个‘最小元素b’就可以表示成b（min）…”
“B有b（min），A没有最大元素…即：集合B包含b（min）及所有大于b（min）的有理数，集合A包含所有小于b（min）的有理数…”现代学者接着说，“例如A是所有<1的有理数，B是所有≥1的有理数…”

【戴德金分割】5
分割的3种可能…第3种：A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。
“平方等于2的数是分界点…”现代学者说。
“平方等于2的数，就是对2做开方运算后，得出的那个数…”现代学者接着说，“它可以用√2（根号2）表示——这一点，我们在前面《欧几里得23》中已做过详细叙述…”

““这里我们发散一下思维（让思维自由飞翔一下）：比1稍大的有理数，可以写作‘1.000…1’…”现代学者说，“这样的话，有理数就可以分为两个集合：≤1的有理数和≥‘1.000…1’的有理数…”
请看下集《欧几里得33、高等数学并不高深——用初中知识就能理解…》”
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欧几里得33、高等数学并不高深——用初中知识就能理解…

【戴德金分割】5
分割的3种可能…第3种：A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。
“平方等于2的数是分界点…”现代学者说。
“平方等于2的数，就是对2做开方运算后，得出的那个数…”现代学者接着说，“它可以用√2（根号2）表示——这一点，我们在前面《欧几里得23》中已做过详细叙述…”
“分割的第3种可能，可以简略的叙述为：A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有＜√2的有理数，B是所有＞√2的有理数…”现代学者继续说。

【戴德金分割】6
根据大前提（见《欧几里得31》），集合A和集合B合并起来（简称“A和B的并集”）是所有有理数。（√2不是有理数。）
√2又是确确实实存在的一种数。
…
戴德金称第3种分割定义了一个无理数…或者简单的说这个分割就是一个无理数。
前面2种情况中（见《欧几里得32》），分割是有理数。
这样，所有可能的分割（既有有理数，又有无理数）构成了数轴上的每一个点…数轴上的点，统称实数。
“前提是实数和直线上的点有着一一对应关系…”戴德金说。

【戴德金分割】7
思考题：戴德金分割的第4种可能——A有最大元素a，B有最小元素b，例如A是所有≤1的有理数，B是所有≥1.1的有理数。
…有没有这种可能？
思考题简略版：A有a（max），B有b（min），例如A是所有≤1的有理数，B是所有≥1.1的有理数。
…有没有这种可能？
“这是不可能的，因为这样就会出现不存在于A、B两个集合中的有理数（例如上面例子中，1和1.1之间的有理数——1.01，1.001…），这与‘A和B的并集是所有有理数’矛盾…”现代学者说。
…前提：可以推出另一个判断的判断，如三段论中的大前提、小前提（见《欧几里得3》）…

【戴德金分割】8
“这里我们发散一下思维（让思维自由飞翔一下）：比1稍大的有理数，可以写作‘1.000…1’…”现代学者说，“这样的话，有理数就可以分为两个集合：≤1的有理数和≥‘1.000…1’的有理数…”
“这样的话…这个分割…既不是有理数，又不是无理数…”现代学者接着说，“这种分割不是一个数…这种分割是一个单纯的分割——比如，我们把1，2，3，4，5分成{1，2，3}、{4，5}两个集合，就是这样的分割…”
“存在这样的戴德金分割吗？…其实，这样的戴德金分割是不存在滴…”现代学者继续说，“问题的关键点在于‘1.000…1’…”
“‘1.000…1’是什么？…根据大前提，它是有理数——即‘比1稍大的有理数’…可有理数是能准确写出来的数（如整数、分数）…”现代学者最后说，“我们无法准确写出‘比1稍大的有理数’…”

““需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’——最先产生这种需求的，是数学家…”现代学者说，“奇懒无比的的数学家…再次懒出天际…”
请看下集《欧几里得34、不食人间烟火的数学家与直线思维的美…》”
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欧几里得34、不食人间烟火的数学家与直线思维的美…

“我们知道‘比1稍大的有理数’存在，但是却不能准确写出它…‘比1稍大的有理数’，其实是无理数…”现代学者说。
“‘1.000…1’是一个无理数，那么，戴德金分割的第4种可能里，有理数的两个集合就变成：≤1的有理数和＞1的有理数…”现代学者接着说。
“‘≤1的有理数和＞1的有理数’，这，其实就是戴德金分割的第1种可能（见《欧几里得32》）…”现代学者最后说。

对戴德金分割…网友“汇知园”有自己的思考…
…汇：1.河流会合——～为巨川。2.聚集——～总…
…知：知识…
…园：园子（种蔬菜、花果、树木的地方）…
…汇知园：聚集知识的园子…
“我觉得这部分内容（包括上确界，下确界这些东西），初中生是完全可以理解的…”汇知园说。
…上：1.方位词。位置在高处的——～部。～游。往～看。2.方位词。次序或时间在前的——～卷。～次。～半年…
…界：界限；范围…
…上界：上面的界限；上面的范围…
“数学上的‘上界’…是什么意思？”不明真相的吃瓜网友问。
“…一个实数集合M，如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S，那么就称S是M的一个上界…”网友“陈健聪smile”回答。
“？？？”吃瓜网友。
…smile：英语，意思是“微笑”…
…陈健聪：这可能是网友的真名…
…陈健聪smile：直译…意思是“陈健聪的微笑”“微笑的陈健聪”——这是网友的网名…

“陈健聪smile”的回答太复杂了，现在对它进行剖析…
（…剖析：解剖分析…）
一个实数集合M…
“‘一个实数集合M’…什么意思呢？…我们一点一点理解…”现代学者说。
“‘实数’的英语表达是——real number…”现代学者接着说，“‘real’的意思是‘真实的；实际存在的’，‘number’的意思是数字…”
“‘real number’合起来…意思是‘真实的数字；实际存在的数字’…”现代学者继续说。
“‘集合M’…这又是什么意思？”现代学者最后说。

“说起来，数学家是非常懒的——他们喜欢就地取材；他们从来不愿多想一下…”现代学者说。
“在数学的历史中，人们需要用字母表示数字…”现代学者接着说，“懒得出奇的数学家，便用number里的字母表示数字…”
“n和m，是他们最常用的，表示数字的俩字母…”现代学者继续说。
（“我选择n、m表示数字，不是因为我懒，而是因为——我看到n、m，就会想到number【数字】…”一位数学家说，“这叫‘直线思维’…”
…
“你永远无法理解直线思维的美…”数学家最后说。）
“数学家用m表示数字…”现代学者最后说，“随着时代发展…人们需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’…”

“需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’——最先产生这种需求的，是数学家…”现代学者说，“奇懒无比的的数学家…再次懒出天际…”

““这只是‘多思考一下’的劳动量…不需要花时间、花精力、花钱…但是数学家就是不愿意…”现代学者继续说。
“数学家…真是懒死了…”现代学者最后说。
请看下集《欧几里得35、用初中知识理解高等数学的重要概念——上确界，下确界》”
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欧几里得35、用初中知识理解高等数学的重要概念——上确界，下确界

“需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’——最先产生这种需求的，是数学家…”现代学者说，“奇懒无比的的数学家…再次懒出天际…”
“他们用‘大m’表示‘数的集合’…‘大m’即‘大写的m’，也就是M…”现代学者接着说，“解决‘表示【数的集合】’需求时，数学家甚至不愿意去找其它字母…”
“这只是‘多思考一下’的劳动量…不需要花时间、花精力、花钱…但是数学家就是不愿意…”现代学者继续说。
“数学家…真是懒死了…”现代学者最后说。
一个实数S…
“这个没啥好解释的，一个实数S就是一个实数S…”现代学者说。
（“这里，‘S’表示某个实数…”现代学者小声说。）
M中任何数都不超过S…
“M是一个实数集合，例如{1，2，3，4，5}…”现代学者说。
“M里的任何数都不能大于S——满足这个条件的S有很多…我们用刚才的例子进行说明…”现代学者接着说。
“对于{1，2，3，4，5}来说，S可以是5、6、7、8…”现代学者继续说，“1，2，3，4，5这五个数，都没能大于5…它们也没能大于6、没能大于7、没能大于8…”
“对{1，2，3，4，5}这个集合来说，5、6、7、8…都是符合条件的S…”现代学者最后说。
称S是M的一个上界…

“…用刚才的例子进行说明…5是{1，2，3，4，5}的一个上界，6是{1，2，3，4，5}的一个上界，7是{1，2，3，4，5}的一个上界…等等…”现代学者说。
…
“‘一个实数集合M，如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S，那么就称S是M的一个上界’…现在你理解这句话了吧…”现代学者最后说。
（“如果还不理解…我以后会用更通俗的话…讲这个知识点…”现代学者说。）
“在所有这些上界中，如果有一个最小的上界，就称它为M的上确界…”网友陈健聪smile说。
（…陈健聪smile：见《欧几里得34》…）
…上：1.方位词。位置在高处的——～部。～游。往～看。2.方位词。次序或时间在前的——～卷。～次。～半年…
…界：界限…
…确：确定…
…上界：上面的界限…
…上确界：上面确定的界限…
“…我们继续用前面的例子说明…”现代学者说，“对{1，2，3，4，5}这个集合来说，S可以是5、6、7、8…”
“在5、6、7、8…这些上界中，5是最小的上界…”现代学者接着说，“5就是M的上确界…”
“一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个…”网友陈健聪smile说。
…有界数集：有最大数（上确界）和最小数（下确界）的数集…
“…我们还是用前面的例子说明…”现代学者说，“{1，2，3，4，5}是个有界数集…”

““大学教材…基本都是用希腊字母做证明…没有图示…”汇知园接着说，“‘确界’，其实都是集合理论…而集合理论…小学生都能理解…”
请看下集《欧几里得36、从本质上说，小学生都能理解大学教材…》”
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欧几里得36、从本质上说，小学生都能理解大学教材…

“一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个…”网友陈健聪smile说。
…有界数集：有最大数（上确界）和最小数（下确界）的数集…
…陈健聪smile：见《欧几里得34》…
“…我们还是用前面的例子说明…”现代学者说，“{1，2，3，4，5}是个有界数集…”
…前面的例子：指集合{1，2，3，4，5}…见《欧几里得34》…
“{1，2，3，4，5}这个集合的上界是：5，6，7，8…”现代学者接着说，“就是说，{1，2，3，4，5}有无数个上界…”
“{1，2，3，4，5}虽然有无数个上界，但是它的上确界只有一个，就是5…”现代学者继续说。
“‘一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个’…就是这个意思…”现代学者最后说。
“理解了‘上确界’，便能理解‘下确界’…”现代学者说。
…
“实数理论中，有一条叫‘确界原理’的公理…”陈健聪smile说。
…原理：自然科学和社会科学中的基本规律。是在大量观察、实践的基础上，经过归纳而得出的。既能指导实践，又能经受住实践的检验…
“原理可以作为其他规律的基础…”现代百姓说，“从原理出发，可以推导出各种具体的定理、命题…”
…
“原理在公理体系中，叫‘公理’…”现代百姓最后说。
…公理：指人类认为的、不证自明的事实（如“两点之间直线【其实是“线段”】最短；牛顿三定律…”）；经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的命题…

（…命题：1、逻辑学指表达判断的句子，由系词把主词和宾词联系而成。例如：“北京是中国的首都”，这个句子就是一个命题。2、在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题…）
…公理体系一般指公理系统…
…公理系统：公理和以公理为依据，用三段论的方法推出的定理、推论…共同组成的系统，如欧几里得的《几何原本》（最初的公理系统），牛顿力学体系（俗称“经典力学”）…

确界原理：设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。
确界原理的另一种表达：有上界的非空数集必存在上确界；有下界的非空数集必存在下确界。
…数集：数的集合…
…空集：空的集合（不含任何元素的集合）…
…非空集合：至少含有一个元素的集合…
…非空数集：至少含有一个数的数集…
…
“我觉得这部分内容（包括上确界，下确界这些东西），初中生是完全可以理解的…”网友汇知园说。
…网友汇知园：见《欧几里得34》…
“虽然放在大学讲…其实，这些内容非常容易理解…只是大学很多教材写的不是很清楚…”汇知园接着说。
“大学教材…基本都是用希腊字母做证明…没有图示…”汇知园继续说，“‘确界’，其实都是集合理论…而集合理论…小学生都能理解…”

““而且我的感觉是如果留到大学研究这些东西，可能会一知半解…因为时间不够（还要学习专业课）…”汇知园继续说。
…
请看下集《欧几里得37、微积分、极限理论、实数理论间的关系；早期微积分…》”
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欧几里得37、微积分、极限理论、实数理论间的关系；早期微积分…

“大学教材…基本都是用希腊字母做证明…没有图示…”汇知园继续说，“‘确界’，其实都是集合理论…而集合理论…小学生都能理解…”
…汇知园：网友网名，见《欧几里得34》…
“而且我的感觉是如果留到大学研究这些东西，可能会一知半解…因为时间不够（还要学习专业课）…”汇知园最后说。
…
“在大学时，我慌慌张张的往前赶课…我们在慌什么呢？…”现代学者问。
“我们为何而慌？…”现代百姓问。
…
“所以我打算今年暑假跟孩子一起学习数学分析…”汇知园说。
…分：1.区划开——～开。划～。～解。
2.由整体中取出或产生出一部分——～发。～忧。
3.由机构内独立出的部分——～会。～行（háng）。
4.散，离——～裂。～离。～别。～崩离析。～门别类。
5.辨别——区～。～析。
6.区划而成的部分——二～之一…
…析：1.分开；散开——分崩离～。2.分析——剖～，解～几何…
…分析：把一件事物、一种现象、一个概念分成较简单的组成部分，找出这些部分的本质属性和彼此之间的关系（跟“综合”相对）——化学～，～问题，～目前国际形势…
…数学分析：以微积分为主要内容，包含微积分理论基础（实数、函数和极限的基本理论）的一个数学学科…
（…实数、函数和极限的基本理论：实数基本理论；函数基本理论；极限基本理论…）

“数学分析是大学数学专业的一门基础课程…”现代学者说。
“它是数学中，专门研究实数，复数，实数函数，复数函数…的分支学科…”现代学者接着说。
…分支：从一个系统或主体中分出来的部分——～机构…
“数学分析的发展由微积分开始…后来扩展到函数的连续性、可微分、可积分等各种特性…”现代学者继续说。
“这些特性…应用在对物理世界的研究后…有助于我们发现自然界的规律…”现代学者最后说。
…
“数学分析的主要内容是微积分…微积分的理论基础是极限理论…极限理论的理论基础是实数理论…”另一位现代学者说，
“微积分学是微分学（Differential Calculus）和积分学（Integral Calculus）的统称，英语简称Calculus，意为计算…”现代学者接着说。
…Differential：英语，意思是“差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差；（汽车）差动齿轮…
…Calculus：英语，意思是“微积分”…
…Integral：英语，做形容词时意思是“必需的；不可或缺的；作为组成部分的；完整的；完备的”，做名词时意思是“整体；积分”…
“这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题…后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis），或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问…”现代学者继续说。

““普通人看不懂希腊字母…所以看不懂大学教材…”现代学者说，“换句话说，如果普通人理解希腊字母…他们就能读懂大学教材…哪怕他们只有小学文化水平…”
请看下集《欧几里得38、微积分的前世今生；实数理论与微积分；大学教育的真相…》”
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欧几里得38、微积分的前世今生；实数理论与微积分；大学教育的真相…

“这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题…后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis），或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问…”现代学者继续说。
…Analysis：英语，意思是“（对事物的）分析，分析结果；（对物质的）分析”…
“早期的微积分，已经被数学家和天文学家用来解决了大量的实际问题，但是…”现代学者最后说，“由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释…微积分在很长的一段时间内得不到发展…有很多数学家对这个理论持怀疑态度…”
“柯西（Cauchy）和后来的魏尔斯特拉斯（weierstrass）完善了作为微积分理论基础的极限理论，摆脱了‘要多小有多小’‘无限趋向’等模糊性的描述…”现代学者说。
“柯西和魏尔斯特拉斯使用精确的数学语言描述极限的定义，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科…”现代学者接着说。
“微积分被称为‘Mathematical Analysis’…中文译作‘数学分析’…”现代学者继续说。
…Mathematics：英语，意思是“数学；运算；计算”…
…Mathematical：英语，意思是“数学的；（具有）数学（头脑）的；运算能力强的”…
…Analysis：英语，意思是“分析”…
…Mathematical Analysis：英语，意思是“数学分析；数学解析”…
…解析：拆解分析…
“实数最重要的特征是连续性…有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分，积分…正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起了严密的数学分析理论体系（俗称‘微积分’）…”现代学者最后说。
…

“我觉得这部分内容（包括上确界，下确界这些东西），初中生是完全可以理解的…”网友汇知园说。
…上确界，下确界：见《欧几里得34~36》…
…网友汇知园：见《欧几里得34》…
“虽然放在大学讲…其实，这些内容非常容易理解…只是大学很多教材写的不是很清楚…”汇知园接着说。
“大学教材…基本都是用希腊字母做证明…没有图示…”汇知园继续说，“‘确界’，其实都是集合理论…而集合理论…小学生都能理解…”
“而且我的感觉是如果留到大学研究这些东西，可能会一知半解…因为时间不够（还要学习专业课）…”汇知园最后说。
“所以我打算今年暑假跟孩子一起学习数学分析…”汇知园说。
“争取初三之前，完成微积分的学习…”汇知园接着说。
“说实话，真的很容易！”汇知园继续说。
“学习就像一层窗户纸…捅破很难…一旦捅破…豁然开朗！”汇知园最后说。
“目前我遇到的窗户纸就是戴德金分割…我打算用一个月时间解决这个问题！”汇知园说。
…戴德金分割：见《欧几里得31~34》…
…
“普通人看不懂希腊字母…所以看不懂大学教材…”现代学者说，“换句话说，如果普通人理解希腊字母…他们就能读懂大学教材…哪怕他们只有小学文化水平…”

““人是种‘只要能偷懒就不会勤奋’的动物（其它生物也一样）…这是‘趋利避害’这种天性决定的…我们无法改变…”生物学家说。
请看下集《欧几里得39、人的懒惰天性与大学教育的真相》”
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欧几里得39、人的懒惰天性与大学教育的真相

“普通人看不懂希腊字母…所以看不懂大学教材…”现代学者说，“换句话说，如果普通人理解希腊字母…他们就能读懂大学教材…哪怕他们只有小学文化水平…”
…
“即便我们有大学文化，但在日常生活中，我们更像小学生…”另一位现代学者说，“我们只做10以内的加减运算；我们只看一下就能看懂的电影；我们只说大白话…”
…大白话：通俗易懂的话；小学生都能理解的话…
“因为这样更轻松…”现代学者接着说。
（“对于‘一下看不懂’的电影，我们渐渐的决定：不看了…”现代学者说。
…
“10以上的加减运算…及其它更复杂的运算…我们会借助计算器解决…”现代学者说。）
“面对‘轻松’与‘困难’两种选择，人会选择‘轻松’…”生物学家说，“这是人的本性…”
“这种本性源于一个简单的生物规律：趋利避害…”生物学家接着说。
…趋利避害：生物会远离不利于自己的环境，生物学把这种规律叫趋利避害…
“‘趋利避害’是生物的本能…”生物学家继续说。
…本能：人类和动物不学就会的行为。如婴儿吮乳、蜜蜂酿蜜等…
“人是生物…人也有‘趋利避害’本能…”生物学家最后说。
…
“‘如果普通人理解希腊字母…他们就能读懂大学教材…哪怕他们只有小学文化水平’，这里面隐藏着一个生物规律…”生物学家说。
“隐藏的生物规律是：人只能循序渐进的理解事物…”生物学家接着说。
…

“大学教材把人当成‘能准确理解希腊字母的科学家’，‘一下就能看懂希腊字母的天才’，‘熟悉概念的人’，‘勤奋的人’…”生物学家继续说。
…勤奋的人：对老师讲的知识点…只要自己没弄懂（哪怕是一个词）…就去查资料…直到彻底弄懂为止…
“把人当成‘勤奋的人’，这不符合人的‘趋利避害’本性…”生物学家说。
“人是种‘只要能偷懒就不会勤奋’的动物（其它生物也一样）…这是‘趋利避害’这种天性决定的…我们无法改变…”生物学家接着说。
（“人是种‘只要能偷懒就不会勤奋’的动物…就是说：人绝不会主动查字典、查资料…”生物学家说。
“虽然有时人会查字典、查资料…但那是被动的【那是为了应付考试】…”生物学家接着说。）
“人是懒惰的…这意味着，老师的话、教材上的字、词、字母、公式…如果没‘一下听懂，一下看懂’…人就不会再去听、再去看了…”生物学家继续说。
“大学教材、大学老师…把人当成‘勤奋的人’…这意味着…95%以上的人不能‘一下看懂大学教材，一下听懂大学课程’…”生物学家最后说。
（“‘95%’，这个数字是我的估算…”生物学家说。）
“虽然有学生能看懂教材，听懂课程，但是…那是他们私下查字典、查资料的成果…”生物学家说，“这部分成绩优异的学生，也不能‘一下看懂大学教材，一下听懂大学课程’…”

““天才就是像我这样的人。”
——网友回答
请看下集《欧几里得40、天才是什么？》”
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欧几里得40、天才是什么？

“虽然有学生能看懂教材，听懂课程，但是…那是他们私下查字典、查资料的成果…”生物学家说，“这部分成绩优异的学生，也不能‘一下看懂大学教材，一下听懂大学课程’…”
…
“大学教材把人当成‘能准确理解希腊字母的科学家’，‘一下就能看懂希腊字母的天才’，‘熟悉概念的人’，‘勤奋的人’…”生物学家继续说。
…天才：天赋的才能；超出一般人的聪明智慧——艺术～。～的创作…
“天才是什么？”
——网友提问
“天才，是指人拥有一定的天赋（即天分：不是可以学到的东西），包括卓绝的创造力、想象力；拥有天然资质的人（如：体质；嗓音等）…”
——热心网友1回答
“天才就是像我这样的人。”
——热心网友2回答
“有异于常人的才能。”
——网友xwei821 回答
“有人这么说：天才是在别人都放弃的时候不放弃，认清自己的目标，然后按部就班地前进…”网友南邕（yōng） 说。
…邕：1.邕江，水名，在广西。2.广西南宁的别称…
（“‘邕’是会意字。从川，从邑。意思是‘水流【川】围困城邑【yì】’。本义为：四方被水环绕的都邑…”现代学者说。
…会：理解；懂得——体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
…意：意思——来～…
…会意：用两个或两个以上的字，依据事理加以组合，表示出一个新的意义的造字法。如拼合日、月两字，成一“明”字，表明亮、光明之义…

【…理：物质组织的条纹；纹理——木～。肌～。条～…
…事理：事情的道理…】
“会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如‘信’字…”现代百姓说。
“‘人言为信’…”现代百姓接着说，“‘信’字由‘人’字和‘言’字合成，表示人说的话有信用…”
…会意字：用会意法造出来的字…
…邑：1.泛指城市。2.县…）
“天才的确是一个非常抽象的名词，很难说怎样的是天才，倒是能从许多事情上看出来…”南邕接着说。
…抽：1.把夹在中间的东西取出。2.从中取出一部分…
…象：形状；样子——景～，天～，气～，印～，万～更新…
…抽象：从具体事物抽出、概括出它们共同的方面、本质属性与关系等，而将个别的、非本质的方面、属性与关系舍弃，这种思维过程，称为抽象…比如从“五个苹果、五个手指”等事物中抽象出“5”这个数字…
“抽象就是总结规律…”现代百姓说。
“抽象是找相同点…”网友说。
…
“天才跟一般人有些不一样。举个例子，发现地心引力的牛顿是天才，可是当他坐在苹果树下，看到苹果落地，就想苹果为什么会往地上掉，却不往天上飞…在当时，他被认为愚笨…”南邕继续说，“于是我们发现，天才常常是钻牛角尖，怀疑别人不会怀疑的东西的人…”

““有‘天赋的才能’的人，从出生起就有…没有‘天赋的才能’的人…后天无论怎么努力，都不会有‘天赋的才能’…”现代学者继续说。
（“由于才能是上天给的，所以…没有就是没有…努力了，也不会有…”现代学者说。）
请看下集《欧几里得40、人类的想法不会轻易改变；天才是什么2…》”
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