欧几里得81、排中律2；矛盾；命题；真命题

排中律1：形式逻辑的基本规律之一…指在肯定、否定之间必选其一，不能都不选。也就是对同一问题做的两个互相矛盾的判断中，必有一个是真的，非此即彼，不能都否定。如在“甲是乙”和“甲不是乙”这两个判断中，一定有一个是对的，有一个是错的，没有第三种可能…违反这条规律…会犯模棱两可的错误（百度汉语）。
…形式：某物的样子和构造，区别于该物构成的材料…即“事物的外形”；也指办事方法…
…逻辑：规律…
…形式逻辑：事物样子、构造的规律…
…模棱（léng）：含糊，不明确，不肯定…
…两可：这样也可以，那样也可以…
…模棱两可：对问题或事物正反两方面，持既不肯定、也不否定的态度（百度汉语）；指不表示明确的态度，或没有明确的主张，对问题正反两面态度模糊（百度百科）…
排中律2：指两个相互矛盾的命题不能同假，必有一真，即“要么A要么非A”。
“排中律要求不能对不能同假的命题（矛盾关系、反对关系）同时加以否定…”现代学者说，“比如有一块空地可以种庄稼，甲、乙两人讨论这块地该种什么庄稼好。甲一会儿说应该种玉米，一会儿又说不应该种玉米。针对甲的说法，乙说：‘你的两种意见，我都不同意。’…”
“在这里，甲的说法就违反了矛盾律的要求，犯了‘自相矛盾’的错误，因为他同时肯定了这块空地‘应该种玉米’和‘不应该种玉米’这两个相互矛盾的判断…”现代学者接着说，“而针对甲的说法，乙的说法就违反了排中律的要求，因为排中律认为两个互相矛盾的判断不能同假，而乙恰好断定上述两个判断都是假的…也就是说：这块地要不就是应该种玉米，要不就是不应该种玉米，二者必有其一…”现代学者最后说。

…矛盾：1.矛和盾是古代两种作用不同的武器。古代故事传说，有一个人卖矛和盾，夸他的盾最坚固，什么东西也戳（chuō）不破；又夸他的矛最锐利，什么东西都能刺进去。旁人问他，“拿你的矛来刺你的盾怎么样？”那人没法回答了（见于《韩非子·难一》）。后来“矛盾”连用，比喻言语或行为自相抵触的现象：～百出。他的观点前后有～。2.形式逻辑中指两个概念互相排斥或两个判断不能同时是真也不能同时是假的关系…
…命题：1、逻辑学指表达判断的语言形式，由系词把主词和宾词联系而成。例如：“北京是中国的首都”，这个句子就是一个命题。2、在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题…
…真：真实（跟“假、伪”相对）：～心诚意。千～万确。去伪存～。这幅宋人的水墨画是～的…
…真命题（true statement）：数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。命题真值只能取两个值：真或假。真对应判断正确，假对应判断错误。任何命题的真值都是唯一的。称真值为真的命题为真命题…

“矛盾律：对同一个问题作的两个相反的判断，不能都是真的。如对“甲是乙”和“甲不是乙”两个判断，不能都加以肯定，至少要否定一个。违反这条规律，会犯自相矛盾的错误。
请看下集《欧几里得82、命题的真值；“正确”，“错误”；矛盾律；假命题》”
1

欧几里得82、命题的真值；“正确”，“错误”；矛盾律；假命题

…真命题（true statement）：数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。命题真值只能取两个值：真或假。真对应判断正确，假对应判断错误。任何命题的真值都是唯一的。称真值为真的命题为真命题…
（…命题：见《欧几里得81》…）
…值：1.价值；数值。2.数学上按照数学式演算所得的结果：比～。函数～…
…真值：命题的真值…
…
逻辑学中的真值指的是什么？——网友提问
“指每个命题都有真假两个值…”网友“远山如我”说。
…
…命题的真值：命题为真、或命题为假，这两个结果，叫命题的真值…
…假：虚伪的；不真实的；伪造的；人造的（跟“真”相对）：～话。～发。～山。～证件。～仁～义…
“‘假’就是不符合事实…”现代百姓说。
…正确：符合事实、或某种标准：答案～。～的意见。实践证明这种方法是～的…
…错误：不符合事实、或某种标准：～思想。～的结论…
…命题真值只能取两个值——真或假。真对应判断正确，假对应判断错误：命题真值只能取两个值——真或假。真值为真的命题是正确命题，真值为假的命题是错误命题…
矛盾律：对同一个问题作的两个相反的判断，不能都是真的。如对“甲是乙”和“甲不是乙”两个判断，不能都加以肯定，至少要否定一个。违反这条规律，会犯自相矛盾的错误（百度汉语）。
“矛盾律也叫不矛盾律…”现代百姓说。

矛盾律2：通常被表述为A必不非A（A一定不是非A），或A不能既是B又不是B…对同一对象不能同时作出两个矛盾的判断，即不能既肯定它，又否定它…在传统逻辑里 ，矛盾律首先是作为事物规律提出来的，意为任一事物不能同时既具有某属性又不具有某属性…它作为思维规律，则指任一命题不能既真又不真（百度百科）。
…思维：思考的过程…
“矛盾律指对两个矛盾的判断不能同时承认它们都是真的…它们中至少有一个是假的…如果违反了矛盾律的要求，就会出现思维上的前后不一，自相矛盾…”现代百姓说。
“矛盾律指对同一对象不能同时作出两个矛盾的判断，即不能既肯定它，又否定它。如不能说‘水是物质’，同时又说‘水不是物质’…‘水是物质’‘水不是物质’这两个判断中必有一个是假的…”另一位现代百姓说。
“矛盾律要求思想前后一贯，不能自相矛盾…公式是：‘A必不非A（A一定不是非A）’或‘A不既B又非B（A不能既是B又不是B）’…”现代百姓接着说。
…
…假命题：真值为假的命题…
反证法：证明定理的一种方法。先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理。也叫归谬法（百度汉语）。

““反证法通过证明与命题相矛盾的命题（即反命题）为假，来证明命题为真…”现代百姓说。
请看下集《欧几里得83、欧几里得运用反证法，排中律，逻辑关系等知识进行证明》”
1

欧几里得83、欧几里得运用反证法，排中律，逻辑关系等知识进行证明

反证法：证明定理的一种方法。先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理。也叫归谬法（百度汉语）。
…谬：1.错误的；荒唐的。2.差错…
反证法2：通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。反证法的论证过程如下：首先提出论题；然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律——既然反论题为假，原论题便是真的。
…排中律：见《欧几里得80、81》…
“反证法通过证明与命题相矛盾的命题（即反命题）为假，来证明命题为真…”现代百姓说。
…
“欧几里得证明‘√2是无理数’过程中，先提出‘√2是无理数’的反命题——√2不是无理数（见《欧几里得80》）…”现代学者说。
“根据当时的学问，数要么是有理数，要么是无理数，没有第3种可能…”现代学者接着说，“√2不是无理数…根据排中律…√2是有理数…”
“欧几里得依据‘√2是有理数’进行推导…推导出了错误命题…”现代学者继续说。
…欧几里得推导出的错误命题：p、q有公约数2，这与前提“p、q互质”矛盾…见《欧几里得80》…
“根据逻辑关系‘公理是对的，推导方法是对的，那么得出的推论也是对的’知：推论是错的，推导方法、公理至少有一项是错的…”现代学者最后说。

“欧几里得的推导方法是对的…那么…根据‘推导方法、公理至少有一项是错的’知，欧几里得依据的公理是错的…”现代学者说。
“公理是‘√2是有理数’…”现代学者接着说。
“‘√2是有理数’是错的，那么…根据排中律，‘√2是有理数’的反命题——‘√2不是有理数’就是对的…”现代学者继续说。
“数要么是有理数，要么是无理数，没有第3种可能…√2不是有理数，根据排中律，√2是无理数…”现代学者最后说，“由此，‘√2是无理数’得证。”

“‘先提出反命题…’这种证明方法是反证法…欧几里得证明‘√2是无理数’过程中，运用了反证法、排中律、逻辑关系等知识…”现代学者说。
…
“√2是无理数”有诸多证明方法…网友“寂寞de小老鼠”曾用一篇文章描述这些方法…
文章名是《证明根号2是无理数的八种方法》…
“√2 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价（见《欧几里得13》）——后世的数学史家所说的‘第一次数学危机’盖源于此…”寂寞de小老鼠说。
“风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识…实数的概念开始确立…”寂寞de小老鼠接着说，“在此意义上讲，√2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证…”
…实数：见《欧几里得21》…

“质数：大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。
请看下集《欧几里得84、数学符号“（a，b）”；质数，互质数，互质数定理；完全平方数》”
1

欧几里得84、数学符号“（a，b）”；质数，互质数，互质数定理；完全平方数

“换一个角度来看这个数（根号2），我们可以把它看作一根‘晾衣绳’，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味…我准备从不同的角度来证明√2是一个无理数，从而体会这一点…”寂寞de小老鼠最后说。
…寂寞de小老鼠：网友网名，见《欧几里得83》…
证法1：尾数证明法
“假设√2是一个有理数，即√2可以表示为一个分数的形式√2=a/b。其中（a，b）=1，a与b都是正整数。则a2=2b2（a的平方=2×b的平方）…”寂寞de小老鼠说。
…
（a，b）=1什么意思？？——网友提问
“（a，b）=1，即 a 与 b 最大的公因数是1…”网友“小小芝麻大大梦”说，“在数论中，记法（a，b）表示整数a与整数b的最大公约数（greatest common divisor，也译作最大公因数），即所有能同时整除 a 与 b 的正整数中最大的那一个…”
“比如，能同时整除 18 和 24 的正整数一共有四个：1，2，3，6。其中 6 最大，那么（18， 24）=6…”小小芝麻大大梦接着说，“（a，b）=1，即 a 与 b 最大的公因数是1（所有比 1 大的正整数都不能同时整除 a 和 b）…就是说，a与b互为质数…”
…质数：大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数…
…互为质数一般指互质数…
…互质数：公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数…

…互质数具有以下定理：
（1）公因数只有1的两个非零自然数,叫做互质数。举例：2和3，公因数只有1，为互质数；
（2）1和任何自然数互质。两个不同的质数互质。一个质数和一个合数，这两个数不是倍数关系时互质。不含相同质因数的两个合数互质。
（3）任何相邻的两个数互质…
…合数：自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4…
…因数：整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数而没有余数，我们就说b是a的因数…例如：6÷3=2，3是6的因数…
…质因数：用做因数的质数…
…
“由于完全平方数b2（b的平方）的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此2×b2（2×b的平方）的尾数只能是0、2、8中的一个…”寂寞de小老鼠接着说。
…完全平方数：完全平方指用一个整数乘以自己，例如1×1，2×2，3×3等，依此类推…；若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数；完全平方数是非负数…
…完全平方数2：如果一个正整数a是某一个整数b的平方，那么这个正整数a叫做完全平方数。零也可称为完全平方数…完全平方数性质如下：（1）个位数字只能是 0， 1，4，5，6，9 ；（2）任何偶数的平方一定能被 4 整除…

“∵ a2（a的平方）=a×a，a×a含有因数5
∴ a含有因数5（此处运用了排中律）
请看下集《欧几里得85、√2是无理数的证明方法：尾数分析法；奇偶分析法》”
1

欧几里得85、√2是无理数的证明方法：尾数分析法；奇偶分析法

“由于完全平方数b2（b的平方）的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此2×b2（2×b的平方）的尾数只能是0、2、8中的一个…”寂寞de小老鼠接着说。
…尾数0、1、4、5、6、9，分别乘以2得0、2、8、10、12、18：新数的尾数为0、2、8。
…完全平方数：见《欧几里得84》…
…寂寞de小老鼠：网友网名，见《欧几里得83》…
“因为a2=2b2（a的平方=2×b的平方），所以a2（a的平方）与2b2（2×b的平方）的尾数都是0…”寂寞de小老鼠继续说。
…a2（a的平方）的尾数为0、1、4、5、6、9中的一个，2b2（2×b的平方）的尾数为0、2、8中的一个，a2=2b2（a的平方=2×b的平方）。满足上述条件的尾数只有0。因此，a2（a的平方）与2b2（2×b的平方）的尾数都是0。
“因此，b2（b的平方）的尾数只能是0或5…”寂寞de小老鼠最后说。
…2b2的尾数是0，b2（b的平方）的尾数为0、1、4、5、6、9中的一个。在0、1、4、5、6、9这些尾数中，只有0，5乘以2后，得到的新数的尾数是0。因此，b2（b的平方）的尾数是0或5。
“因此，a与b有公因数5…”寂寞de小老鼠说。

…∵ a2（a的平方）的尾数是0，尾数是0的正整数是5的倍数
∴ a2（a的平方）是5的倍数（此处运用的证明方法是三段论）

∵ a2（a的平方）是5的倍数
∴ a2（a的平方）含有因数5

∵ a2（a的平方）=a×a，a×a含有因数5
∴ a含有因数5（此处运用了排中律）

同理可证b含有因数5。

∴ a与b有公因数5

“a与b有公因数5，这与（a，b）=1矛盾！…因此√2是无理数…”寂寞de小老鼠说。
…（a，b）=1：a 与 b 最大的公因数是1；a ，b互质…见《欧几里得84》…
“这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数…”寂寞de小老鼠接着说。
…根：1.高等植物的营养器官，能够把植物固定在土地上，吸收土壤里的水分和溶解在水中的养分，有的根还能贮藏养料。2.事物的本原；人的出身底细：祸～。寻～。从～儿上解决问题。知～知底…
…平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就是a的平方根，也叫做a的二次方根。例如：5×5=25，5就是25的平方根…

证法2：奇偶分析法
“假设√2=a/b，其中（a，b）=1，且a与b都是正整数。则a2=2b2（a的平方=2×b的平方）…”寂寞de小老鼠说，“…可知a是偶数（详见《欧几里得80》）…”
“设a=2c，则4C2=2b2（4×c的平方=2×b的平方），b2=2c2（b的平方=2×c的平方）…可知b也是偶数…”寂寞de小老鼠接着说。

““b=1，则a=√2…这与‘a是正整数’矛盾…这是不行的…”寂寞de小老鼠说。
请看下集《欧几里得86、推动数学进步的网友：寂寞de小老鼠》”
1

欧几里得86、推动数学进步的网友：寂寞de小老鼠

√2是无理数…证法2：奇偶分析法
“假设√2=a/b，其中（a，b）=1，且a与b都是正整数。则a2=2b2（a的平方=2×b的平方）…”寂寞de小老鼠说，“…可知a是偶数（详见《欧几里得80》）…”
…寂寞de小老鼠：网友网名，见《欧几里得83》…
“设a=2c，则4C2=2b2（4×c的平方=2×b的平方），b2=2c2（b的平方=2×c的平方）…可知b也是偶数…”寂寞de小老鼠接着说。
“因此a、b都是偶数…这与（a，b）=1矛盾！…因此2是无理数…”寂寞de小老鼠继续说。
…（a，b）=1：a 与 b 最大的公因数是1；a ，b互质…见《欧几里得84》…
“希帕索斯就是用这种方法证明了√2不是有理数（见《欧几里得79》），动摇了毕达哥拉斯学派的‘万物皆数（任何数都可表示成整数之比）’的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌…希帕索斯因此葬身海底（见《欧几里得13》）…”寂寞de小老鼠最后说。
…信仰：1.对某人或某种主张极度相信和尊敬，拿来作为自己行动的榜样或指南：宗教～（百度汉语）。2.人瞬间的想法叫思想，人保持很长时间的想法叫信仰。一个人的想法叫思想，一群人的想法叫信仰（《自然科学价值观》）…

证法3：
“仿上，得到a2=2b2（a的平方=2×b的平方），易见b>1…”寂寞de小老鼠说。
（“b=1，则a=√2…这与‘a是正整数’矛盾…这是不行的…”寂寞de小老鼠说。）
…仿上：模仿上面…
“a2=2b2（a的平方=2×b的平方）改写成b2=（a/2）a（b的平方=a/2×a）。因为b>1，因此b有质因数p，因此p整除a/2或a…总之，p整除a…”寂寞de小老鼠接着说。
…因：原故，原由，事物发生前已具备的条件：原～。～素。～果。病～…
…因数：整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数而没有余数，我们就说b是a的因数…例如：6÷3=2，3是6的因数…
…质因数：用做因数的质数…
…质因数2：在数论里是指能整除给定正整数的质数。根据算术基本定理，不考虑排列顺序的情况下，每个正整数都能够以唯一的方式表示成它的质因数的乘积。两个没有共同质因数的正整数称为互质。因为1没有质因数，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。只有一个质因数的正整数为质数…
“因此，p同时整除a与b…这与（a，b）=1矛盾…”寂寞de小老鼠最后说。
…
“‘√2是有理数’不符合矛盾律…‘错误’指‘不符合事实、或某种标准’（‘错误’的定义，见《欧几里得82》）…因此，不符合矛盾律的命题——√2是有理数是错的…”现代学者说。
“根据排中律，‘√2是有理数’的反命题——√2是无理数是对的…”现代学者接着说。
…排中律：见《欧几里得80、81》…

““‘幂’原指盖东西的布巾…数学中‘幂’是乘方的结果…而乘方的表示是通过在一个数字上加上标的形式来实现的…就像在一个数上‘盖上了一头巾’…”现代学者说，“把乘方叫做幂，形式上很契合…”
请看下集《欧几里得87、利用代数基本定理证明√2是无理数》”
1

欧几里得87、利用代数基本定理证明√2是无理数

√2是无理数…证法4：
“仿上，得到a2=2b2（a的平方=2×b的平方），等式变形为b2=a2-b2=（a+b）（a-b）（b的平方=a的平方-b的平方=【a+b】【a-b】），因为b>1（见《欧几里得86》），因此存在质因数p，p整除a+b或a-b之一，或同时整除a+b与a-b…因此p能整除b…因为a2=2b2=2×b×b（a的平方=2×b的平方=2×b×b）…因此p能整除a…因此p是a、b的公因数——这与（a，b）=1矛盾…”寂寞de小老鼠说。
…寂寞de小老鼠：网友网名，见《欧几里得83》…
…仿上：模仿上面…
…质因数：见《欧几里得86》…
…（a，b）=1：a 与 b 最大的公因数是1，见《欧几里得84》…
“接下来的证法和‘证法3’中相同…”现代学者说。
…证法3：见《欧几里得86》…

证法5：利用代数基本定理

…
“根据代数基本定理，如果不考虑质因数的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成质数幂的积的形式，因此a=P1r1P2r2…Pmrm（a=p1的r1次方×p2的r2次方×…×pm的rm次方），b=q1s1q2s2…qnsn（b=q1的s1次方×q2的s2次方×…×qn的sn次方），其中P1，…，Pm与q1，…，qn都是质数，r1，…，rm与s1，…，sn都是正整数…”寂寞de小老鼠说。
…因数：见《欧几里得11》…
…幂：乘方运算的结果。nm（n的m次方）指m个n相乘。把nm（n的m次方）看作乘方的结果，叫做n的m次幂，也叫n的m次方…
“数学中的‘幂’，是‘幂’字面意思的引申…”现代学者说。
“‘幂’原指盖东西的布巾…数学中‘幂’是乘方的结果…而乘方的表示是通过在一个数字上加上标的形式来实现的…就像在一个数上‘盖上了一头巾’…”现代学者接着说，“把乘方叫做幂，形式上很契合…”
“在现实中盖头巾又有升级的意思…把乘方叫做幂正好契合了数学中指数级数快速增长的含义…”现代学者继续说，“把乘方叫做幂，内容上也很契合…”
…指数：幂运算aⁿ（a≠0）（读作“a的n次方”）中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角。幂运算表示指数个底数相乘。当n是一个正整数，aⁿ（a的n次方）表示n个a连乘…
…参：检验，用其他有关材料来研究，考证某事物：～考。～照…
…参数：表明现象、机构、装置的某种性质的量。如导电率、导热率、膨胀系数等…
“因为a2=2b2（a的平方=2×b的平方），所以P12r1P22r2…Pm2rm=21q12s1q22s2…qn2sn（P1的2r1次方×P2的2r2次方×…×Pm的2rm次方=2的1次方×q1的2s1次方×q2的2s2次方×…×qn的2sn次方）”，质数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此√2是无理数…”寂寞de小老鼠接着说。
…

“不等式就是用大于（＞），小于（＜），大于等于（≥），小于等于（≤）连接而成的数学式子，它一般有如下八个基本性质：…
请看下集《欧几里得88、“√2是无理数”证法6；不等式的基本性质；连分数》”
1